Determine se a sequência converge ou diverge e justifique sua afirmação. Se ela convergir, encontre o limite:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente descobrir se a sequência $ \left{ \frac{\sin(2n)}{1 + \sqrt{n}} \right} $ converge ou diverge. Se ela convergir, também precisamos encontrar o limite. Vamos usar conhecimentos de sequências e limites para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar cada parte da fração separadamente. No numerador, temos $ \sin(2n) $. Sabemos que a função seno oscila entre -1 e 1 para qualquer valor de $ n $. Ou seja, $ -1 \leq \sin(2n) \leq 1 $.
Passo 3
No denominador, temos $ 1 + \sqrt{n} $. Conforme $ n $ cresce, $ \sqrt{n} $ também cresce sem limite, fazendo com que $ 1 + \sqrt{n} $ vá para o infinito quando $ n $ tende ao infinito.
Passo 4
Agora, vamos pensar na fração completa $ \frac{\sin(2n)}{1 + \sqrt{n}} $. O numerador está sempre limitado entre -1 e 1, enquanto o denominador cresce cada vez mais. Quando dividimos um número limitado por um número que tende ao infinito, o resultado tende a zero.
Passo 5
Para formalizar isso, podemos usar o Teorema do Sanduíche (ou Teorema das Bolas de Saco). Sabemos que:
Dividindo tudo por $ 1 + \sqrt{n} $ (que é positivo), temos:
Agora, vamos calcular os limites dos extremos:
Como os dois limites são iguais a zero, pelo Teorema do Sanduíche, concluímos que:
Resposta
A sequência $ \left{ \frac{\sin(2n)}{1 + \sqrt{n}} \right} $ converge e o seu limite é 0.