Determine se a sequência converge ou diverge e justifique sua afirmação. Se ela convergir, encontre o limite:
n cos n pi

Passo 1

Então, a gente tem uma sequência que é $ {n \cos n\pi} $. O que a gente precisa fazer aqui é descobrir se essa sequência chega a um número específico quando o $ n $ aumenta para o infinito (isso chama-se convergir) ou se ela não se estabiliza em nenhum número (isso chama-se divergir). Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de trigonometria, especificamente sobre a função cosseno, e também entender como as sequências se comportam quando o índice $ n $ cresce.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão $ \cos n\pi $. Sabemos que o cosseno de múltiplos de $ \pi $ tem valores específicos:
cos npi
Isso acontece porque:
  • Quando $ n $ é par, $ \cos n\pi = 1 $.
  • Quando $ n $ é ímpar, $ \cos n\pi = -1 $.
Então, podemos reescrever a sequência original como:
pi

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento dessa nova sequência $ {n (-1)^n} $. Vemos que:
  • Para $ n = 1 $, temos $ -1 $.
  • Para $ n = 2 $, temos $ 2 $.
  • Para $ n = 3 $, temos $ -3 $.
  • E assim por diante.
A sequência está alternando entre valores positivos e negativos, e o valor absoluto aumenta à medida que $ n $ cresce. Isso significa que os termos da sequência estão indo para $ +\infty $ e $ -\infty $ alternadamente.

Resposta

A sequência $ {n \cos n\pi} $ diverge, pois não se aproxima de nenhum valor específico quando $ n $ tende ao infinito.

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