Encontrar a derivada das funções abaixo:
f(x)=(2 x+1)^x^2-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar a derivada da função . Estamos lidando com derivadas de funções que têm tanto uma base quanto um expoente que dependem de . Para resolver isso, vamos precisar usar logaritmos e as regras de derivação de funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a derivação usando o logaritmo natural. Aplicamos o logaritmo dos dois lados da equação para facilitar:
ln(f(x)) = ln( (2x + 1)^x^2 - 1 )

Passo 3

Agora, usando a propriedade dos logaritmos que diz que ln(f(x)) = (x^2 - 1) cdot ln(2x + 1) , podemos reescrever a equação:

Passo 4

Vamos derivar ambos os lados em relação a f'(x)f(x) = ddx[ (x^2 - 1) cdot ln(2x + 1) ] . Do lado esquerdo, usamos a regra da cadeia:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do produto no lado direito:
f'(x)f(x) = (x^2 - 1) cdot 22x + 1 + ln(2x + 1) cdot 2x

Passo 6

Multiplicamos ambos os lados por f'(x) = f(x) ( 2(x^2 - 1)2x + 1 + 2x cdot ln(2x + 1) ) para isolar :

Resposta

A derivada da função é:
f'(x) = (2x + 1)^x^2 - 1 ( 2(x^2 - 1)2x + 1 + 2x cdot ln(2x + 1) )

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