Pesquisar dois problemas envolvendo aplicações de derivadas na engenharia ou áreas afins.
Você(s) deve(m) apresentar o problema, o processo resolutivo e, ainda, a análise da solução encontrada.
Obs.: Apresentar a devida referência bibliográfica;
Você(s) deve(m) apresentar o problema, o processo resolutivo e, ainda, a análise da solução encontrada.
Obs.: Apresentar a devida referência bibliográfica;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente pesquisar dois problemas onde as derivadas são usadas na engenharia ou áreas relacionadas. Isso envolve entender como a taxa de variação de alguma grandeza é importante para resolver questões práticas. Vamos precisar de conhecimentos básicos de cálculo diferencial e entender um pouco sobre a aplicação na engenharia para resolver esses probleminhas.
Passo 2
Problema 1: Otimização do Volume de uma Caixa sem Tampa
Vamos imaginar que você quer fabricar uma caixa sem tampa usando uma folha de papelão quadrada. A ideia é dobrar as laterais para criar a caixa. O objetivo é descobrir qual o tamanho do quadrado que deve ser cortado de cada canto para maximizar o volume da caixa.
Resolução:
- Definindo a variável: Seja
o tamanho do quadrado cortado de cada canto. - Expressando o Volume: Se a folha é de lado
, o volume da caixa será . - Derivando: Para maximizar
, derivamos em relação a : Simplificando: - Igualando a zero para encontrar o máximo:
Como não faz sentido físico, temos . - Verificando o tipo de extrema: A segunda derivada confirma que é um máximo.
Análise da Solução:
Cortando quadrados de lado , a caixa terá o volume máximo possível. Isso ajuda na fabricação eficiente, economizando material e maximizando a capacidade de armazenamento.
Cortando quadrados de lado
Passo 3
Problema 2: Minimização da Temperatura em um Sistema de Resfriamento
Suponha que você esteja projetando um sistema de resfriamento para um motor. Queremos minimizar a temperatura máxima que o motor atinge durante o funcionamento ajustando a taxa de fluxo de ar
.
Resolução:
- Definindo a função de temperatura: A temperatura
pode ser modelada como , onde é a temperatura ambiente e é uma constante relacionada ao calor gerado. - Derivando para minimizar: Para encontrar o mínimo de
, derivamos em relação a : - Igualando a derivada a zero: Porém,
não tem solução real. Isso indica que a função é sempre decrescente conforme aumenta. - Conclusão: A temperatura diminui à medida que o fluxo de ar aumenta. Portanto, para minimizar
, devemos maximizar , dentro dos limites práticos do sistema.
Análise da Solução:
A derivada nos mostrou que aumentar o fluxo de ar continuamente reduz a temperatura. Porém, na prática, há limitações como custo e eficiência do ventilador. Assim, o engenheiro deve balancear entre o fluxo de ar e os recursos disponíveis para obter a melhor performance possível.
A derivada nos mostrou que aumentar o fluxo de ar continuamente reduz a temperatura. Porém, na prática, há limitações como custo e eficiência do ventilador. Assim, o engenheiro deve balancear entre o fluxo de ar e os recursos disponíveis para obter a melhor performance possível.
Resposta
Apresentamos dois problemas onde as derivadas são aplicadas na engenharia: a otimização do volume de uma caixa sem tampa e a minimização da temperatura em um sistema de resfriamento. Em ambos os casos, usamos o cálculo diferencial para encontrar valores que maximizam ou minimizam as funções de interesse, garantindo eficiência e funcionalidade nos projetos de engenharia.
Referência:
Boyce, W. E., & DiPrima, R. C. (2017). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. John Wiley & Sons.
Boyce, W. E., & DiPrima, R. C. (2017). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. John Wiley & Sons.