Pesquisar dois problemas envolvendo aplicações de derivadas na engenharia ou áreas afins.
Você(s) deve(m) apresentar o problema, o processo resolutivo e, ainda, a análise da solução encontrada.
Obs.: Apresentar a devida referência bibliográfica;

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para gente pesquisar dois problemas onde as derivadas são usadas na engenharia ou áreas relacionadas. Isso envolve entender como a taxa de variação de alguma grandeza é importante para resolver questões práticas. Vamos precisar de conhecimentos básicos de cálculo diferencial e entender um pouco sobre a aplicação na engenharia para resolver esses probleminhas.

Passo 2

Problema 1: Otimização do Volume de uma Caixa sem Tampa
Vamos imaginar que você quer fabricar uma caixa sem tampa usando uma folha de papelão quadrada. A ideia é dobrar as laterais para criar a caixa. O objetivo é descobrir qual o tamanho do quadrado que deve ser cortado de cada canto para maximizar o volume da caixa.
Resolução:
  1. Definindo a variável: Seja dVdx = (L - 2x)^2 + x cdot 2(L - 2x)(-2) o tamanho do quadrado cortado de cada canto.
  2. Expressando o Volume: Se a folha é de lado dVdx = (L - 2x)^2 - 4x(L - 2x) , o volume (L - 2x)^2 - 4x(L - 2x) = 0 da caixa será (L - 2x)(L - 2x - 4x) = 0 .
  3. Derivando: Para maximizar L - 2x = 0 ou L - 6x = 0 , derivamos em relação a : Simplificando:
  4. Igualando a zero para encontrar o máximo: Como não faz sentido físico, temos .
  5. Verificando o tipo de extrema: A segunda derivada confirma que é um máximo.
Análise da Solução:
Cortando quadrados de lado , a caixa terá o volume máximo possível. Isso ajuda na fabricação eficiente, economizando material e maximizando a capacidade de armazenamento.

Passo 3

Problema 2: Minimização da Temperatura em um Sistema de Resfriamento
Suponha que você esteja projetando um sistema de resfriamento para um motor. Queremos minimizar a temperatura máxima que o motor atinge durante o funcionamento ajustando a taxa de fluxo de ar dTdQ = -CQ^2 .
Resolução:
  1. Definindo a função de temperatura: A temperatura pode ser modelada como , onde é a temperatura ambiente e é uma constante relacionada ao calor gerado.
  2. Derivando para minimizar: Para encontrar o mínimo de , derivamos em relação a :
  3. Igualando a derivada a zero: Porém, não tem solução real. Isso indica que a função é sempre decrescente conforme aumenta.
  4. Conclusão: A temperatura diminui à medida que o fluxo de ar aumenta. Portanto, para minimizar , devemos maximizar , dentro dos limites práticos do sistema.
Análise da Solução:
A derivada nos mostrou que aumentar o fluxo de ar continuamente reduz a temperatura. Porém, na prática, há limitações como custo e eficiência do ventilador. Assim, o engenheiro deve balancear entre o fluxo de ar e os recursos disponíveis para obter a melhor performance possível.

Resposta

Apresentamos dois problemas onde as derivadas são aplicadas na engenharia: a otimização do volume de uma caixa sem tampa e a minimização da temperatura em um sistema de resfriamento. Em ambos os casos, usamos o cálculo diferencial para encontrar valores que maximizam ou minimizam as funções de interesse, garantindo eficiência e funcionalidade nos projetos de engenharia.
Referência:
Boyce, W. E., & DiPrima, R. C. (2017). Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems. John Wiley & Sons.

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