Suponha que o PVI de segunda ordem
l ddottheta=theta theta(0)=0, dottheta(0)=1
seja usado para definir o seno hiperbólico.
(iv) A geometria analítica sugere que a mudança de variável u=x+y, v= x-y pode ser útil; escreva o sistema nessas novas variáveis.

Passo 1

Temos o PVI de segunda ordem
ddottheta=theta, theta(0)=0, ; dottheta(0)=1,
e queremos escrever este problema como sistema de primeira ordem e depois mudar de variáveis para u=x+y e v=x-y.

Passo 2

Definimos as variáveis de estado
x=theta, y=dottheta
Assim o sistema original fica
dotx=y,
doty=x

Passo 3

Agora introduzimos as novas variáveis sugeridas pela geometria analítica:
u = x + y,
v = x - y
A ideia é tentar separar o sistema acoplado.

Passo 4

Derivando u e v em relação a t:
u'=dotx+doty=y+x=u,
v'=dotx-doty=y-x=-,(x-y)=-v
Logo obtemos um sistema desacoplado.

Passo 5

Opcionalmente, as condições iniciais nas novas variáveis são
u(0)=x(0)+y(0)=0+1=1,
v(0)=x(0)-y(0)=0-1=-1

Resposta

O sistema nas variáveis u,v é
u'=u,
v'=-v,
com condições iniciais u(0)=1 e v(0)=-1.

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