Determine o domínio, a imagem, os zeros e esboce o gráfico da função
Passo 1
Temos a função g(x)=π+π
sen(πx). O conteúdo é análise de funções trigonométricas: domínio, imagem (alcance), zeros e esboço de gráfico. Para resolver, vamos usar a definição de sen(x), suas propriedades de amplitude e período, e transformação vertical (deslocamento e escala).
sen(πx). O conteúdo é análise de funções trigonométricas: domínio, imagem (alcance), zeros e esboço de gráfico. Para resolver, vamos usar a definição de sen(x), suas propriedades de amplitude e período, e transformação vertical (deslocamento e escala).
Passo 2
O seno está definido para todo x real, e a expressão π+π
sen(πx) não impõe restrições adicionais. Logo, o domínio é o conjunto de todos os números reais: .
sen(πx) não impõe restrições adicionais. Logo, o domínio é o conjunto de todos os números reais:
Passo 3
Sabendo que
varia entre
e
, multiplicando por π temos
. Ao somar π, a função g(x) varia em:
Passo 4
Para achar os zeros, resolvemos g(x)=0:
1+\sin(πx)=0
$$
As soluções de
são
. Então
$$πx=\tfrac{3π}{2}+2πk\implies x=\tfrac{3}{2}+2k,\quad k\in\mathbb{Z}.
$$
Passo 5
Para esboçar o gráfico observamos:
- Amplitude: π
- Período:
- Deslocamento vertical de π (linha média y=π)
Montamos pontos-chave num período:
x=0 → g(0)=π;
x=1/2 → sen(π/2)=1 → g=2π;
x=1 → g=π;
x=3/2 → sen(3π/2)=-1 → g=0;
x=2 → g=π.
Traçando a curva senoidal com esses pontos, obtemos o esboço pedido.
Passo 6
O gráfico é uma senoide de período 2, amplitude π e deslocada para cima em π. Entre cada mínimo (g=0 em x=3/2+2k) e máximo (g=2π em x=1/2+2k) ela oscila suavemente.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Zeros:
Gráfico: senoide de amplitude π, período 2 e deslocada verticalmente em π, com valores-chave em x=0 (g=π), x=1/2 (g=2π), x=1 (g=π), x=3/2 (g=0) e x=2 (g=π).