Determine o domínio, a imagem, os zeros e esboce o gráfico da função g(x)=pi+pi sen(pi x)

Passo 1

Temos a função g(x)=π+π
sen(πx). O conteúdo é análise de funções trigonométricas: domínio, imagem (alcance), zeros e esboço de gráfico. Para resolver, vamos usar a definição de sen(x), suas propriedades de amplitude e período, e transformação vertical (deslocamento e escala).

Passo 2

O seno está definido para todo x real, e a expressão π+π
sen(πx) não impõe restrições adicionais. Logo, o domínio é o conjunto de todos os números reais: R.

Passo 3

Sabendo que sin(πx) varia entre -1 e 1, multiplicando por π temos π,sin(πx)in[-π,π]. Ao somar π, a função g(x) varia em:
[,-π+π,,π+π];=;[0,2π]

Passo 4

Para achar os zeros, resolvemos g(x)=0:
π+π,sin(πx)=0 $$
1+\sin(πx)=0
$$ 1+sin(πx)=0 As soluções de sin(πx)=-1 são sin θ=-1. Então
$$πx=\tfrac{3π}{2}+2πk\implies x=\tfrac{3}{2}+2k,\quad k\in\mathbb{Z}.
$$

Passo 5

Para esboçar o gráfico observamos:
  • Amplitude: π
  • Período: T=2π/|π|=2
  • Deslocamento vertical de π (linha média y=π)
    Montamos pontos-chave num período:
    x=0 → g(0)=π;
    x=1/2 → sen(π/2)=1 → g=2π;
    x=1 → g=π;
    x=3/2 → sen(3π/2)=-1 → g=0;
    x=2 → g=π.
    Traçando a curva senoidal com esses pontos, obtemos o esboço pedido.

Passo 6

O gráfico é uma senoide de período 2, amplitude π e deslocada para cima em π. Entre cada mínimo (g=0 em x=3/2+2k) e máximo (g=2π em x=1/2+2k) ela oscila suavemente.

Resposta

Domínio: R
Imagem: [0,2π]
Zeros: x=tfrac32+2k,;kinZ
Gráfico: senoide de amplitude π, período 2 e deslocada verticalmente em π, com valores-chave em x=0 (g=π), x=1/2 (g=2π), x=1 (g=π), x=3/2 (g=0) e x=2 (g=π).

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