Decida quais dos seguintes conjuntos geram R^4 :
c) (1,1,1,1),(1,1,1,0),(1,1,0,0),(1,1,0,1);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores em R^4
(1,1,1,1),,(1,1,1,0),,(1,1,0,0),,(1,1,0,1)
gera todo R^4. Em termos de teoria de espaços vetoriais, isso equivale a checar se o posto (rank) da matriz formada por esses vetores é igual a 4, pois um conjunto de vetores gera R^4 se, e somente se, sua dimensão do span for 4.

Passo 2

Formamos a matriz A cujas linhas são os vetores dados:
A = 1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 1
O posto de A nos dirá quantos vetores independentes temos.

Passo 3

Aplicamos eliminação de Gauss para encontrar o número de pivôs:
1 & 1 & 1 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 1 ;xrightarrowR1 R1-R2; 0 & 0 & 0 & 1 1 & 1 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 1 & 1 & 0 & 1 ;xrightarrowR2 R2-R3,;R4 R4-R3; 0 & 0 & 0 & 1 0 & 0 & 1 & 0 1 & 1 & 0 & 0 0 & 0 & 0 & 1
Aqui aparecem pivôs em 3 colunas distintas (colunas 1, 3 e 4) e a quarta linha repetida mostra dependência.

Passo 4

Como só obtemos 3 pivôs distintos, o posto de A é 3. Logo
diml(spanv1,v2,v3,v4r)=3<4
e o conjunto não gera R^4.

Resposta

O conjunto não gera R^4.

Exercícios relacionados