18
18. Quantas matrizes A de tamanho 3 times 3 você consegue encontrar tais que
A[l x y z ]=[c x y 0 0 ]
com quaisquer escolhas de x, y e z ?
30
30. Seja 0 a matriz 2 times 2 com todas as entradas nulas.
30a) Existe alguma matriz A de tamanho 2 times 2 tal que A neq 0 e A A=0 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

O enunciado pede uma matriz tal que, para todo vetor , se tenha
Como é linear, a primeira componente de deve ser uma combinação linear de , mas o termo é bilinear.

Passo 2

Uma transformação linear satisfaz
A(x,y,z) = x,A(1,0,0)+y,A(0,1,0)+z,A(0,0,1),
logo cada componente de A(x,y,z) é da forma a x + b y + c z. Mas xy não pode ser escrito como a x + b y + c z para constantes a,b,c.

Passo 3

Queremos saber se existe alguma matriz AinR^2times2, Aneq0, que satisfaça
A,A = 0,
isto é, A^2 é a matriz nula.

Passo 4

É bem conhecido que blocos de Jordan nilpotentes fornecem exemplos deste tipo. Tome a matriz
A = 0 & 1 0 & 0,
que claramente não é a matriz nula.

Passo 5

Calculando
A^2 = 0 & 1 0 & 0 0 & 1 0 & 0 = 0 & 0 0 & 0,
vemos que A^2=0.

Resposta

Sim. Por exemplo,
A = 0 & 1 0 & 0
é não nula e satisfaz A^2=0.

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