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18. Quantas matrizes de tamanho você consegue encontrar tais que
com quaisquer escolhas de x, y e z ?
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30. Seja 0 a matriz 2 times 2 com todas as entradas nulas.
30a) Existe alguma matriz A de tamanho 2 times 2 tal que A neq 0 eA A=0 ? Justifique sua resposta.
Passo 1
O enunciado pede uma matriz tal que, para todo vetor , se tenha
Como é linear, a primeira componente de deve ser uma combinação linear de , mas o termo é bilinear.
Passo 2
Uma transformação linear satisfaz
A(x,y,z) = x,A(1,0,0)+y,A(0,1,0)+z,A(0,0,1),
logo cada componente de A(x,y,z) é da forma a x + b y + c z. Mas xy não pode ser escrito como a x + b y + c z para constantes a,b,c.
Passo 3
Queremos saber se existe alguma matriz AinR^2times2, Aneq0, que satisfaça
A,A = 0,
isto é, A^2 é a matriz nula.
Passo 4
É bem conhecido que blocos de Jordan nilpotentes fornecem exemplos deste tipo. Tome a matriz