Decida quais dos seguintes conjuntos geram R^3 :
b) (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1);

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto de vetores
(1,0,0),,(1,1,0),,(1,1,1) gera o espaço R^3.
O conteúdo que vamos usar é o de geração de espaço vetorial: um conjunto gera R^3 se, para todo vetor (x,y,z)inR^3, existirem escalares a,b,c tais que
a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1) = (x,y,z)

Passo 2

Escrevemos a combinação linear e obtemos o sistema associado:
a(1,0,0)+b(1,1,0)+c(1,1,1) = (a+b+c,;b+c,;c) = (x,y,z)
Isto gera o sistema
a + b + c = x, b + c = y, c = z

Passo 3

Resolvemos o sistema de cima em função de x,y,z:
Da terceira equação,
c = z
Substituindo na segunda,
b + z = y Longrightarrow b = y - z
Substituindo b e c na primeira,
a + (y - z) + z = x Longrightarrow a = x - y

Passo 4

Como para quaisquer x,y,zinR obtemos
a = x - y, b = y - z, c = z,
vemos que sempre podemos expressar (x,y,z) como combinação dos três vetores dados. Logo, eles geram todo R^3.

Resposta

O conjunto (1,0,0),(1,1,0),(1,1,1) gera R^3.

Exercícios relacionados