Decida quais dos seguintes conjuntos são linearmente independentes: .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se o conjunto em é linearmente independente. Isso está dentro da matéria de Álgebra Linear, mais especificamente sobre independência linear. Para resolver, vamos verificar se nenhuma das vetores pode ser escrita como uma combinação linear da outra.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa ser linearmente independente. Um conjunto de vetores é linearmente independente se a única solução para a combinação linear que resulta no vetor zero é quando todos os coeficientes são zero.
Então, vamos montar a seguinte equação:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 3
Agora, vamos resolver esse sistema. A primeira equação nos dá a = -b. Substituindo na segunda equação:
(-b) + 2b = 0 Rightarrow b = 0
E, consequentemente, a = 0.
Resposta
Como a única solução é a = b = 0, os vetores (1,1,1), (1,2,1) são linearmente independentes em R^3.