Verifique se os seguintes pontos são coplanares. Caso negativo, calcule o volume do paralelepípedo que tem um dos vértices no ponto A e os três vértices adjacentes nos pontos B, C e D:
(b) A=(2,0,2), B=(3,2,0), C=(0,2,1) e D=(10,-2,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa verificar se os pontos A, B, C e D estão todos no mesmo plano (ou seja, são coplanares). Se não estiverem, vamos calcular o volume do paralelepípedo formado por eles. Para isso, vamos usar conceitos de geometria no espaço e o produto misto (produto escalar triple) para verificar a coplanaridade e calcular o volume.

Passo 2

Primeiro, vamos ver se os quatro pontos são coplanares. Para isso, pegamos o ponto A como base e formamos três vetores: AB = B - A = (3-2, 2-0, 0-2) = (1, 2, -2) , AC = C - A = (0-2, 2-0, 1-2) = (-2, 2, -1) e AD = D - A = (10-2, -2-0, 1-2) = (8, -2, -1) .
Calculando os vetores:

Passo 3

Agora, vamos calcular o produto misto desses três vetores. Se o resultado for zero, os pontos são coplanares. O produto misto é dado por:
AB cdot (AC times AD)
Primeiro, calculamos o produto vetorial AC times AD = i & j & k -2 & 2 & -1 8 & -2 & -1 = i(2 cdot (-1) - (-1) cdot (-2)) - j((-2) cdot (-1) - (-1) cdot 8) + k((-2) cdot (-2) - 2 cdot 8) :
= i(-2 - 2) - j(2 - (-8)) + k(4 - 16)
= -4i - 10j - 12k
= (-4, -10, -12)

Passo 4

Agora, fazemos o produto escalar de AB cdot (AC times AD) = (1, 2, -2) cdot (-4, -10, -12) com = 1 cdot (-4) + 2 cdot (-10) + (-2) cdot (-12) :
= -4 -20 +24
= 0

Passo 5

Como o produto misto deu zero, isso significa que os pontos A, B, C e D são coplanares. Portanto, não precisamos calcular o volume do paralelepípedo, pois ele seria zero.

Resposta

Os pontos A, B, C e D são coplanares.

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