Decida se as seguintes EDO’s são exatas. Se for, encontre a solução.
y cdot cos (x)+2 x cdot e^y+(sen(x)+x^2 e^y-1) y^prime=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
ycos(x)+2x,e^y+l(sen(x)+x^2e^y-1r)y'=0
que pode ser escrita na forma
M(x,y)+N(x,y),y'=0,
com
M(x,y)=ycos(x)+2x,e^y, N(x,y)=sen(x)+x^2e^y-1
O conteúdo aqui é verificar se ela é exata, ou seja, checar se
partial M/partial y=partial N/partial x, e então encontrar uma função potencial F(x,y) tal que
partial F/partial x=M e partial F/partial y=N.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais:
partial Mpartial y =cos(x)+2x,e^y, partial Npartial x =cos(x)+2x,e^y
Como
partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata.

Passo 3

Para achar F(x,y), integramos M em relação a x:
F(x,y)=integrall(ycos(x)+2x,e^yr),dx =ysin(x)+x^2e^y+h(y),
onde h(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Diferenciando F em relação a y e igualando a N obtemos
partial Fpartial y =sin(x)+x^2e^y+h'(y) stackrel!=N(x,y)=sen(x)+x^2e^y-1
Daí vem
h'(y)=-1 Longrightarrow h(y)=-y

Passo 5

Substituindo h(y) em F, a solução implícita geral fica
F(x,y)=ysin(x)+x^2e^y-y=C,
onde C é constante arbitrária.

Resposta

ysin(x)+x^2e^y-y=C

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