Exercício 11 Resolva as EDO’s seguintes
2 x+4 y+(4 x-2 y) y^prime=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
2x + 4y + (4x - 2y),y' = 0
Aqui o conteúdo é EDO de primeira ordem do tipo homogênea (o quociente 2x+4y4x-2y é função de tfrac yx). Vamos usar a substituição padrão
y = v,x, y' = v + x,dvdx

Passo 2

Isolamos y' na EDO original:
(4x - 2y),y' = -l(2x + 4yr) Longrightarrow y' = -2x+4y4x-2y = -x+2y2x-y

Passo 3

Aplicamos a substituição y=vx:
y' = v + xdvdx, -x+2y2x-y = -x + 2(vx)2x - (v x) = -1+2v2-v
Logo
v + xdvdx = -1+2v2-v ;;Longrightarrow;; xdvdx = -1+2v2-v - v = v^2 -4v -12 - v

Passo 4

Separamos variáveis:
2 - vv^2 -4v -1,dv = dxx
Note que 2-v = -(v-2) e que d(v^2 -4v -1)=2(v-2),dv. Então
integral 2 - vv^2 -4v -1,dv = -12 integral d(v^2 -4v -1)v^2 -4v -1 = -12 lnl|v^2 -4v -1r| + C1
No lado direito
integral dxx = ln|x| + C2

Passo 5

Igualando e reorganizando constantes obtenho
-tfrac12 lnl|v^2 -4v -1r| = ln|x| + C2 ;Longrightarrow; lnl|v^2 -4v -1r| = -2ln|x| + C3 = ln!l|C,x^-2r|
Voltando a v = y/x e multiplicando por x^2, fica
l(tfrac yxr)^2 -4l(tfrac yxr) -1 = C,x^-2 Longrightarrow y^2 -4xy - x^2 = C,
que é a solução geral implícita.

Resposta

y^2 - 4xy - x^2 = C,
onde C é constante arbitrária.

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