Questão 1 Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado x0; 2) Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
x y^prime prime+y^prime+x y=0, x0=1 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x,y'' + y' + x,y = 0
e pede soluções em série de potências em torno de x0=1.
Para isso vamos fazer a mudança de variável
t = x - 1
e procurar
y(x) = sumn=0^infty an,t^n
Precisaremos de y', y'' e então substituir em
(t+1),y'' + y' + (t+1),y = 0
para achar a relação de recorrência entre os coeficientes an.

Passo 2

Calculando as derivadas:
y = sumn=0^infty an,t^n, y' = sumn=1^infty n,an,t^n-1, y'' = sumn=2^infty n(n-1),an,t^n-2
Substituindo em (t+1)y'' + y' + (t+1)y=0 e coletando potências de t^n, obtemos para n>=1:
(n+2)(n+1),an+2 ;+;(n+1)^2,an+1;+;an;+;an-1;=;0,
e, no caso n=0, o termo constante dá
2,a2 + a1 + a0 = 0
Assim a relação de recorrência geral é
an+2 = -(n+1)^2,an+1 ;+;an;+;an-1(n+2)(n+1), n>=1,
com a condição extra em n=0:
a2 = -a1 + a02

Passo 3

Como a EDO é de segunda ordem, teremos duas séries independentes, escolhendo a0,a1 como parâmetros livres.
Solução y1: tomar a0=1, a1=0.
Pela condição em n=0:
a2 = -tfrac0+12 = -tfrac12
Para n=1:
a3 = -(1+1)^2,a2 + a1 + a03cdot2 = -4cdot(-tfrac12) + 0 + 16 = tfrac16
Para n=2:
a4 = -(2+1)^2,a3 + a2 + a14cdot3 = -9cdottfrac16 +(-tfrac12)+012 = -tfrac112
Para n=3:
a5 = -(3+1)^2,a4 + a3 + a25cdot4 = -16cdot(-tfrac112) + tfrac16 +(-tfrac12)20 = tfrac112
Logo os cinco primeiros termos de y1 são
y1 = 1 - tfrac12,t^2 + tfrac16,t^3 - tfrac112,t^4 + tfrac112,t^5 + cdots

Passo 4

Solução y2: tomar a0=0, a1=1.
Em n=0:
a2 = -tfrac1+02 = -tfrac12
Em n=1:
a3 = -4,a2 + a1 + a06 = tfrac16
Em n=2:
a4 = -9,a3 + a2 + a112 = -tfrac16
Em n=3:
a5 = -16,a4 + a3 + a220 = tfrac320
Assim os cinco primeiros termos de y2 são
y2 = t - tfrac12,t^2 + tfrac16,t^3 - tfrac16,t^4 + tfrac320,t^5 + cdots

Passo 5

Não há uma forma fechada simples para o termo geral an, pois a recorrência envolve três termos anteriores. As duas soluções independentes em série são:
y1 = 1 - tfrac12,t^2 + tfrac16,t^3 - tfrac112,t^4 + tfrac112,t^5 + cdots,
y2 = t - tfrac12,t^2 + tfrac16,t^3 - tfrac16,t^4 + tfrac320,t^5 + cdots,
onde t = x-1.

Resposta

As duas soluções em série ao redor de x0=1 são
y1(x) = 1 - tfrac12,(x-1)^2 + tfrac16,(x-1)^3 - tfrac112,(x-1)^4 + tfrac112,(x-1)^5 + cdots,
y2(x) = (x-1) - tfrac12,(x-1)^2 + tfrac16,(x-1)^3 - tfrac16,(x-1)^4 + tfrac320,(x-1)^5 + cdots,
com recorrência
an+2 = -(n+1)^2,an+1 + an + an-1(n+2)(n+1)

Exercícios relacionados