Questão 1 Em cada um dos problemas a seguir: 1) procure soluções em séries de potências da equação diferencial dada em torno do ponto dado
; 2) Encontre a relação de recorrência; 3) Encontre os 5 primeiros termos de cada uma das soluções; 4) Se possível encontre a o termo geral de cada solução.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede soluções em série de potências em torno de
.
Para isso vamos fazer a mudança de variável
Para isso vamos fazer a mudança de variável
e procurar
Precisaremos de
,
e então substituir em
para achar a relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Calculando as derivadas:
Substituindo em
e coletando potências de
, obtemos para
:
e, no caso
, o termo constante dá
Assim a relação de recorrência geral é
com a condição extra em
:
Passo 3
Como a EDO é de segunda ordem, teremos duas séries independentes, escolhendo
como parâmetros livres.
Solução
: tomar
,
.
Pela condição em :
Pela condição em
Para
:
Para
:
Para
:
Logo os cinco primeiros termos de
são
Passo 4
Solução
: tomar
,
.
Em :
Em
Em
:
Em
:
Em
:
Assim os cinco primeiros termos de
são
Passo 5
Não há uma forma fechada simples para o termo geral
, pois a recorrência envolve três termos anteriores. As duas soluções independentes em série são:
onde
.
Resposta
As duas soluções em série ao redor de
são
com recorrência