Encontre uma solução particular da equação x^3 y^(3)+5 x^2 y^prime prime+2 x y^prime-2 y=x^4, dado que sua função complementar é yc=c1 x+c2 x^-1+c3 x^-2.

Passo 1

O enunciado pede uma solução particular da equação de Cauchy–Euler
x^3y^(3)+5x^2y''+2xy'-2y = x^4
sabendo que a solução complementar é
yc = c1,x + c2,x^-1 + c3,x^-2
Vamos usar o método dos coeficientes a determinar, típico para equações de Euler.

Passo 2

Como o termo não homogêneo é x^4 e r=4 não é raiz do polinômio característico (as raízes são 1,-1,-2), fazemos o palpite
yp = A,x^4

Passo 3

Calculamos as derivadas de yp:
yp' = 4A,x^3, yp'' = 12A,x^2, yp^(3) = 24A,x

Passo 4

Substituímos na equação:
x^3cdot(24A,x) ;+;5x^2cdot(12A,x^2);+;2xcdot(4A,x^3);-;2(A,x^4) =(24+60+8-2)A,x^4=90A,x^4
Para que isso seja igual a x^4, deve valer 90A,x^4=x^4, ou seja
A=tfrac190

Resposta

yp = 190,x^4

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