Decida se as seguintes proposições são falsas ou verdadeiras. Justifique.
Se x+14 x+2<1, então x>1.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a proposição “Se x+14x+2<1, então x>1” é verdadeira ou falsa. O conteúdo é resolução de inequação racional: vamos resolver x+14x+2<1 e depois ver se isso realmente implica x>1.

Passo 2

Primeiro, garantimos a existência da expressão exigindo que o denominador não seja zero: 4x+2neq0, ou seja, xneq-tfrac12. Em seguida, manipulamos a desigualdade para ficar num único quociente:
x+14x+2<1
passa a
x+14x+2-1<0
que se combina em:
x+1-(4x+2)4x+2<0Longrightarrow-3x-14x+2<0

Passo 3

Agora identificamos os pontos que anulam numerador e denominador para fazer a análise de sinais: numerador -3x-1=0 em x=-tfrac13; denominador 4x+2=0 em x=-tfrac12. Esses valores particionam a reta real em três intervalos onde testamos o sinal do quociente:
  • Para x<-tfrac12, por exemplo x=-1, temos num. -3(-1)-1=2>0 e den. 4(-1)+2=-2<0, logo quotient <0 e a desigualdade vale.
  • Para -tfrac12, por ex. x=-0.4, num. >0, den. >0, quotient >0 e não vale.
  • Para x>-tfrac13, por ex. x=0, num. -1<0, den. 2>0, quotient <0 e vale.

Passo 4

Concluímos que a solução é xin(-infty,-tfrac12)cup(-tfrac13,infty). Como, por exemplo, x=0 satisfaz x+14x+2<1 mas não satisfaz x>1, a implicação falha.
Portanto, a proposição é falsa, pois existem valores que satisfazem a hipótese sem satisfazer a conclusão.

Resposta

Falsa.

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