Dentre todos os pares de números com soma 6 , determine aquele cuja soma dos quadrados dos números é mínima.

Passo 1

A questão pede para achar, entre todos os pares de números reais cujo somatório vale 6, aquele que minimiza a soma dos quadrados. O conteúdo aqui é otimização de função de uma variável, usando derivada para encontrar mínimo.

Passo 2

Como temos a restrição x + y = 6, podemos isolar y em função de x: y = 6 - x. Então definimos a função que queremos minimizar:
f(x) = x^2 + (6 - x)^2

Passo 3

Expandindo e simplificando a função obtemos
f(x) = x^2 + (36 - 12x + x^2) = 2x^2 - 12x + 36

Passo 4

Para achar o mínimo, calculamos a derivada e igualamos a zero:
f'(x) = 4x - 12 = 0 implies x = 3
Como a derivada segunda é f''(x)=4>0, esse ponto é de mínimo. Então y = 6 - 3 = 3, ou seja, o par é (3,3).

Resposta

O par de números é (3,3).

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