Questão 4. Encontre a função inversa da função f(x)=2 x^3-1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa encontrar a função inversa da função $ f(x) = 2x^{3} - 1 $. Isso envolve conceitos de funções inversas, que basicamente “desfazem” a ação da função original. Para isso, vamos precisar manipular a equação para isolar $ x $ em termos de $ y $.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir $ f(x) $ por $ y $ para facilitar a manipulação. Então, temos:
f(x)

Passo 3

Nosso objetivo é encontrar $ x $ em função de $ y $. Vamos começar adicionando 1 em ambos os lados da equação para isolar o termo com $ x $:
x

Passo 4

Agora, vamos dividir ambos os lados por 2 para deixar $ x^{3} $ sozinho:
x^3

Passo 5

Para eliminar o expoente 3 e resolver para $ x $, vamos tirar a raiz cúbica de ambos os lados:
x

Passo 6

A função inversa, geralmente representada por $ f^{-1}(x) $, é obtida trocando $ y $ por $ x $ na equação que encontramos para $ x $. Assim:
f^-1(x)

Resposta

A função inversa é $ f^{-1}(x) = \sqrt[3]{\dfrac{x + 1}{2}} $.

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