Decida se as seguintes séries convergem ou divergem:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(1+\frac{1}{n}\right)^{2} e^{-n}

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{2}e^{-n}.
Aqui o conteúdo é teste de convergência de séries de termos positivos. Vamos usar o teste da razão (d’Alembert).

Passo 2

Seja
a_{n}=\Bigl(1+\frac{1}{n}\Bigr)^{2}e^{-n}.
O teste da razão diz que devemos calcular
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_{n}}.
Temos
\frac{a_{n+1}}{a_{n}} =\frac{\bigl(1+\frac{1}{n+1}\bigr)^{2}\,e^{-(n+1)}}{\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^{2}\,e^{-n}} =e^{-1}\,\frac{\bigl(1+\frac{1}{n+1}\bigr)^{2}}{\bigl(1+\frac{1}{n}\bigr)^{2}}.
Como
\lim_{n\to\infty}\frac{1+\frac{1}{n+1}}{1+\frac{1}{n}}=1,
segue
L =e^{-1}\cdot 1 =e^{-1}.

Passo 3

Como L=e^{-1}<1, o teste da razão garante que a série converge absolutamente. Logo, a série converge.

Resposta

A série converge.

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