O que você pode dizer a respeito da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} que satisfaz:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=8

Passo 1

O enunciado nos dá a série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} e informa que
\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=8.
O conteúdo aqui é o teste da razão para séries infinitas, que nos permitirá decidir convergência ou divergência.

Passo 2

O teste da razão diz o seguinte: seja L=\lim_{n\to\infty}\bigl|a_{n+1}/a_{n}\bigr|.
  • Se L<1, então \sum a_{n} converge absolutamente.
  • Se L>1, então \sum a_{n} diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Aqui temos L=8, que é estritamente maior que 1. Logo, pelo teste da razão, a série diverge.
Além disso, para uma série convergir, seria necessário que a_{n}\to0; mas se \bigl|a_{n+1}/a_{n}\bigr|\to8, os termos não tendem a zero.

Resposta

A série \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} diverge, pois o limite da razão é 8>1.

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