Decida se as seguintes séries convergem:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n \pi}{\sqrt{n}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir a convergência da série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos n\pi}{\sqrt{n}}.
O conteúdo principal é teste de séries alternadas (Leibniz) e teste de convergência absoluta.

Passo 2

Usamos a identidade \cos n\pi = (-1)^n. Assim a série fica
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}.

Passo 3

Para aplicar o critério de Leibniz definimos b_n = 1/\sqrt{n}. Observamos que
  1. b_n>0 para todo n.
  2. b_{n+1} = 1/\sqrt{n+1} < 1/\sqrt{n} = b_n, ou seja, (b_n) é monótona decrescente.
  3. \lim_{n\to\infty}b_n = \lim_{n\to\infty}1/\sqrt{n}=0.

Passo 4

Pelos critérios acima, a série alternada
\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n b_n
converge (teste de Leibniz).

Passo 5

Verificamos a convergência absoluta calculando
\sum_{n=1}^{\infty}\biggl|\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}\biggr| =\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{n}}.
Esta é uma série p-comportamental com p=\tfrac12\le1, logo diverge.

Resposta

A série converge condicionalmente (converge pelo teste de Leibniz, mas não converge absolutamente).

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