O que você pode dizer a respeito da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} que satisfaz: \lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=0,8
Passo 1
O enunciado considera a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
e nos dá o dado \displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigl|\tfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\bigr|=0{,}8.
O conteúdo envolvido é o Teste da Razão para convergência de séries.
Passo 2
O Teste da Razão diz que, se existir \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\bigl|\tfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\bigr|,
então:
Se L<1, a série \sum a_{n}converge absolutamente.
Se L>1, a série diverge.
Se L=1, o teste é inconclusivo.
Passo 3
No nosso caso temos \displaystyle L=0{,}8,
e de fato 0{,}8<1. Pelo Teste da Razão, concluímos que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
converge absolutamente.