O que você pode dizer a respeito da série \sum_{n=1}^{\infty} a_{n} que satisfaz:
\lim _{n \rightarrow \infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\right|=0,8

Passo 1

O enunciado considera a série \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
e nos dá o dado \displaystyle \lim_{n\to\infty}\bigl|\tfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\bigr|=0{,}8.
O conteúdo envolvido é o Teste da Razão para convergência de séries.

Passo 2

O Teste da Razão diz que, se existir \displaystyle L=\lim_{n\to\infty}\bigl|\tfrac{a_{n+1}}{a_{n}}\bigr|,
então:
  1. Se L<1, a série \sum a_{n} converge absolutamente.
  2. Se L>1, a série diverge.
  3. Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

No nosso caso temos \displaystyle L=0{,}8,
e de fato 0{,}8<1. Pelo Teste da Razão, concluímos que \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}a_{n}
converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (logo converge).

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