Encontre a série de Fourier da função estendida.
(1) f(x)= \begin{cases}-1, & -1 \leq x<0, \\\\ 1, & 0 \leq x<1\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a série de Fourier da função periódica de período 2\) definida em \([-1,1)\) por \[f(x)= \begin{cases} -1, & -1 \le x < 0,\\\\ 1, & 0 \le x < 1. \end{cases}
O conteúdo é séries de Fourier em intervalos simétricos [-L,L]\] com \(L=1.

Passo 2

Vamos explorar a paridade de f. Para x>0 temos
f(-x)= -1 = -\,1 = -f(x),
e para x<0 também dá f(-x)=-f(x). Logo f é ímpar, o que implica
a_0 = 0, \quad a_n = 0 \quad\text{(todos os termos cosseno desaparecem).}

Passo 3

Resta calcular os coeficientes seno
b_n = \frac{1}{L}\int_{-L}^{L} f(x)\,\sin\Bigl(\frac{n\pi x}{L}\Bigr)\,dx \quad\text{com \(L=1\),}
ou seja
b_n = \int_{-1}^{1} f(x)\,\sin(n\pi x)\,dx.

Passo 4

Como f e \sin(n\pi x) são ímpares, o produto é par, então
b_n = 2\int_{0}^{1} f(x)\,\sin(n\pi x)\,dx = 2\int_{0}^{1} 1\cdot\sin(n\pi x)\,dx = 2\Bigl[-\frac{\cos(n\pi x)}{n\pi}\Bigr]_{0}^{1} = \frac{2\bigl(1 - (-1)^n\bigr)}{n\pi}.

Passo 5

Note que se n é par, (-1)^n=1 e b_n=0; se n é ímpar, (-1)^n=-1 e
b_n = \frac{2(1-(-1))}{n\pi} = \frac{4}{n\pi}.
Assim só aparecem termos de índice n=2k+1. A série de Fourier fica
f(x) \sim \sum_{k=0}^{\infty} \frac{4}{(2k+1)\pi}\,\sin\bigl((2k+1)\pi x\bigr).

Resposta

f(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{4}{(2k+1)\pi}\,\sin\bigl((2k+1)\pi x\bigr).

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