Esboce a curva \alpha(t)=(x(t), y(t)). Indique com uma seta a direção na qual a curva é traçada quando t aumenta.
x(t)=4 \sin (t), y(t)=5 \cos (t),-\pi / 2 \leq t \leq \pi / 2

Passo 1

O enunciado nos dá a curva paramétrica
\alpha(t) = (x(t),y(t)) = \bigl(4\sin(t),\,5\cos(t)\bigr), \quad t\in\bigl[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr],
e pede que a gente esboce essa curva no plano e indique a direção de traçado quando t aumenta. O conteúdo envolvido é identificação de curvas a partir de parametrizações e eliminação do parâmetro.

Passo 2

Para ver que curva é, expressamos \sin(t) e \cos(t) em função de x e y:
\sin(t) = \frac{x}{4}, \qquad \cos(t) = \frac{y}{5}.
Usando a identidade \sin^2(t)+\cos^2(t)=1, obtemos
\Bigl(\frac{x}{4}\Bigr)^2 + \Bigl(\frac{y}{5}\Bigr)^2 = 1.
Portanto a curva está contida na elipse
\frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{25} = 1.

Passo 3

O parâmetro varia em \bigl[-\tfrac\pi2,\tfrac\pi2\bigr]. Nessa faixa temos \cos(t)\ge0, logo
y(t)=5\cos(t)\ge0.
Isto mostra que a curva percorrida é justamente a metade superior da elipse.

Passo 4

Para determinar a direção, calculamos alguns pontos chave:
\alpha\bigl(-\tfrac\pi2\bigr)=\bigl(4\sin(-\tfrac\pi2),\,5\cos(-\tfrac\pi2)\bigr)=(-4,0),
\alpha(0)=(0,5), \qquad \alpha\bigl(\tfrac\pi2\bigr)=(4,0).
Conforme t cresce de -\tfrac\pi2 a \tfrac\pi2, o ponto parte de (-4,0), sobe até (0,5) e desce até (4,0). Então ao esboçar a metade superior da elipse, coloque uma seta indo da esquerda para o topo e daí para a direita.

Resposta

A curva é a metade superior da elipse \tfrac{x^2}{16}+\tfrac{y^2}{25}=1, orientada de (-4,0) para (0,5) e em seguida para (4,0) conforme t aumenta.

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