Decida se as séhies abaixo söo convergentes on divergentes. No caso de setem convergentes, decida re a séric converge absolutamente ou condicionalmente.
Passo 1
A questão pede para analisar a convergência da série alternante
. O conteúdo central é teste de convergência de séries, principalmente o teste da razão para convergência absoluta e, se necessário, o teste da série alternante.
Passo 2
Para verificar convergência absoluta, consideramos
e aplicamos o teste da razão. Calculamos
Passo 3
Passo 4
L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1){5}/(n+2)!}{n{5}/(n+1)!} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{5} \cdot \frac{(n+1)!}{(n+2)!} = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{5} \cdot \frac{1}{n+2}.
Passo 5
]
Passo 6
Como
e
, temos
. Pelo teste da razão, a série de termos positivos
converge.
Passo 7
Uma vez que a soma dos módulos converge, a série original converge absolutamente. Logo, não há necessidade de aplicar o teste da série alternante.
Passo 8
Concluímos que a série converge de forma absolutamente convergente, e portanto converge.
Resposta
A série converge absolutamente.