Decida se as séhies abaixo söo convergentes on divergentes. No caso de setem convergentes, decida re a séric converge absolutamente ou condicionalmente.
sumn=1^infty(-1)^n n^5(n+1)!

Passo 1

A questão pede para analisar a convergência da série alternante sumn=1^infty(-1)^n n^5(n+1)!. O conteúdo central é teste de convergência de séries, principalmente o teste da razão para convergência absoluta e, se necessário, o teste da série alternante.

Passo 2

Para verificar convergência absoluta, consideramos an = n^5(n+1)! e aplicamos o teste da razão. Calculamos

Passo 3

Passo 4

L = \lim_{n\to\infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n\to\infty} \frac{(n+1){5}/(n+2)!}{n{5}/(n+1)!} = \lim_{n\to\infty} \left(\frac{n+1}{n}\right)^{5} \cdot \frac{(n+1)!}{(n+2)!} = \lim_{n\to\infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{5} \cdot \frac{1}{n+2}.

Passo 5

]

Passo 6

Como (1 + 1n)^5 to 1 e 1n+2 to 0, temos L = 0 < 1. Pelo teste da razão, a série de termos positivos sum an converge.

Passo 7

Uma vez que a soma dos módulos converge, a série original converge absolutamente. Logo, não há necessidade de aplicar o teste da série alternante.

Passo 8

Concluímos que a série converge de forma absolutamente convergente, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente.

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