Seja f(x, y) função de classe C^3 em um aberto A subset R^2 contendo o ponto p0=(x0, y0). Prove que existe uma bola aberta B de centro em p0 e contida em A tal que existe número M >= 0 tal que, para todo p=(x, y) in B
|f(p)-P2(p)| <= M|p-p0|^3
onde P2(p) denota o polinomio de taylor de orden 2 da função f em torno do ponto p0. Conclua que
lim p p0 E(p)|p-p0|^2=0
onde E(p)=f(p)-P2(p), isto o erro E(p) se aproxima de zero mais rapidamente que |p-p0|^2.

Passo 1

O enunciado trata de aplicar o Teorema de Taylor de ordem 2 para uma função fcolon AsubsetR^2toR de classe C^3 num ponto p0=(x0,y0). Precisamos mostrar que existe uma bola aberta B centrada em p0 e um M>=0 tais que, para todo pin B,
l|f(p)-P2(p)r|<= M|p-p0|^3,
onde P2 é o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de p0. Em seguida, concluir que
limpto p0E(p)|p-p0|^2=0,
com E(p)=f(p)-P2(p). Vamos usar o método de reduzir o caso bidimensional a uma aplicação unidimensional ao longo da reta que liga p0 a p, e em seguida aplicar o Teorema de Taylor unidimensional com resto de Lagrange.

Passo 2

Como f é C^3 em A e p0in A, existe uma bola aberta B de centro p0 cujo fecho overline B ainda está contido em A. Pelas derivadas de ordem 3 serem contínuas em overline B, elas são limitadas. Logo, existe um L>=0 tal que, para todo qinoverline B e todo multi-índice alpha com |alpha|=3,
l|D^alpha f(q)r|<= L

Passo 3

Para pin B, defina a função unidimensional
phi(t)=fl(p0+t(p-p0)r), tin[0,1]
Note que phi é C^3 em [0,1]. Pelo Teorema de Taylor unidimensional com resto de Lagrange, existe xiin(0,1) tal que
phi(1) =phi(0)+phi'(0)cdot1+phi''(0)2!,1^2+phi'''(xi)3!,1^3
Mas phi(1)=f(p), phi(0)=f(p0),
phi'(0)=nabla f(p0)cdot(p-p0) e
phi''(0)= (p-p0)^T,D^2f(p0),(p-p0),
de onde o termo até segunda ordem é exatamente P2(p). Assim o erro é
E(p)=f(p)-P2(p) =phi'''(xi)6

Passo 4

Calculamos phi'''(xi) em termos das derivadas parciais de f:
phi'''(xi) =sumi+j+k=33!i!,j!,k!, partial^3 fpartial x^ipartial y^jpartial z^k l(p0+xi(p-p0)r),(x-x0)^i(y-y0)^j(z-z0)^k
Em R^2 temos apenas x,y, e cada monômio |x-x0|^i|y-y0|^j com i+j=3 é bounded por |p-p0|^3. Usando l|D^alpha fr|<= L em overline B, obtemos
l|phi'''(xi)r|<= C,L,|p-p0|^3
para alguma constante C que conte o número de termos. Portanto
|E(p)|=|phi'''(xi)|6<= M,|p-p0|^3,
onde M = C,L/6. Isso prova a desigualdade desejada.

Passo 5

Dessa desigualdade segue imediatamente
0<=|E(p)|p-p0|^2|<= M,|p-p0|
para pne p0. Como |p-p0|to0 quando pto p0, o lado direito tende a zero. Assim
limpto p0E(p)|p-p0|^2=0

Resposta

Foi exibida a bola B e a constante M tal que
l|f(p)-P2(p)r|<= M|p-p0|^3,
e daí concluímos
limpto p0E(p)|p-p0|^2=0

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