Seja função de classe um aberto contendo o ponto . Prove que existe uma bola aberta de centro em e contida em tal que existe número tal que, para todo
onde denota o polinomio de taylor de orden 2 da função em torno do ponto . Conclua que
onde , isto o erro se aproxima de zero mais rapidamente que .
Passo 1
O enunciado trata de aplicar o Teorema de Taylor de ordem 2 para uma função de classe num ponto . Precisamos mostrar que existe uma bola aberta centrada em e um tais que, para todo ,
onde P2 é o polinômio de Taylor de ordem 2 em torno de p0. Em seguida, concluir que
limpto p0E(p)|p-p0|^2=0,
com E(p)=f(p)-P2(p). Vamos usar o método de reduzir o caso bidimensional a uma aplicação unidimensional ao longo da reta que liga p0 a p, e em seguida aplicar o Teorema de Taylor unidimensional com resto de Lagrange.
Passo 2
Como f é C^3 em A e p0in A, existe uma bola aberta B de centro p0 cujo fecho overline B ainda está contido em A. Pelas derivadas de ordem 3 serem contínuas em overline B, elas são limitadas. Logo, existe um L>=0 tal que, para todo qinoverline B e todo multi-índice alpha com |alpha|=3,
l|D^alpha f(q)r|<= L
Passo 3
Para pin B, defina a função unidimensional
phi(t)=fl(p0+t(p-p0)r), tin[0,1]
Note que phi é C^3 em [0,1]. Pelo Teorema de Taylor unidimensional com resto de Lagrange, existe xiin(0,1) tal que
Mas phi(1)=f(p), phi(0)=f(p0), phi'(0)=nabla f(p0)cdot(p-p0) e phi''(0)= (p-p0)^T,D^2f(p0),(p-p0),
de onde o termo até segunda ordem é exatamente P2(p). Assim o erro é
E(p)=f(p)-P2(p) =phi'''(xi)6
Passo 4
Calculamos phi'''(xi) em termos das derivadas parciais de f: