Decida se a sequência a seguir converge (justifique sua resposta):
xn=1+sen(n)n^2+1, n=1,2,3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a sequência converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e algumas propriedades das funções trigonométricas e dos polinômios. Vamos precisar entender como o comportamento do numerador e do denominador influencia o limite da sequência quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar o numerador da nossa sequência: . Sabemos que a função seno, , oscila entre e para qualquer valor de . Então, o valor de vai oscilar entre e .

Passo 3

Agora, vamos olhar para o denominador: . Conforme aumenta, cresce muito rápido, e somar 1 a ele não faz muita diferença no crescimento. Então, tende ao infinito conforme tende ao infinito.

Passo 4

Com isso em mente, vamos pensar no comportamento da fração quando fica muito grande. O numerador está limitado entre 0 e 2, enquanto o denominador está aumentando sem limite. Quando o denominador cresce sem parar e o numerador fica limitado, a fração inteira tende a zero.

Passo 5

Matematicamente, podemos dizer que:
0 <= 1 + sin(n)n^2 + 1 <= 2n^2 + 1
E sabemos que . Pelo Teorema do Confronto (ou Sandwich), se uma sequência está sempre entre duas outras sequências que convergem para o mesmo limite, então a sequência no meio também converge para esse limite.

Resposta

Portanto, a sequência converge para 0.

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