Decida se a sequência a seguir converge (justifique sua resposta):
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa decidir se a sequência
converge ou não. Para isso, vamos usar conceitos de limites de sequências e algumas propriedades das funções trigonométricas e dos polinômios. Vamos precisar entender como o comportamento do numerador e do denominador influencia o limite da sequência quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar o numerador da nossa sequência:
. Sabemos que a função seno,
, oscila entre
e
para qualquer valor de
. Então, o valor de
vai oscilar entre
e
.
Passo 3
Agora, vamos olhar para o denominador:
. Conforme
aumenta,
cresce muito rápido, e somar 1 a ele não faz muita diferença no crescimento. Então,
tende ao infinito conforme
tende ao infinito.
Passo 4
Com isso em mente, vamos pensar no comportamento da fração
quando
fica muito grande. O numerador está limitado entre 0 e 2, enquanto o denominador está aumentando sem limite. Quando o denominador cresce sem parar e o numerador fica limitado, a fração inteira tende a zero.
Passo 5
Matematicamente, podemos dizer que:
E sabemos que
. Pelo Teorema do Confronto (ou Sandwich), se uma sequência está sempre entre duas outras sequências que convergem para o mesmo limite, então a sequência no meio também converge para esse limite.
Resposta
Portanto, a sequência
converge para 0.