Verifique, em cada item, que as funções y1 e y2 são soluções linearmente independentes da EDO dada.
y^prime prime-y=0 y1(x)=e^x, y2(x)=e^-x

Passo 1

Temos a EDO homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes dada por y'' - y = 0. As funções fornecidas são y1(x)=e^x e y2(x)=e^-x. Vamos verificar que ambas satisfazem a equação e depois checar a independência linear usando o Wronskiano.

Passo 2

Para y1(x)=e^x, calculamos as derivadas:
y1'(x)=e^x,
y1''(x)=e^x
Substituindo na EDO:
y1'' - y1 = e^x - e^x = 0
Portanto y1 é solução da EDO.

Passo 3

Para y2(x)=e^-x, calculamos as derivadas:
y2'(x)=-e^-x,
y2''(x)=e^-x
Substituindo na EDO:
y2'' - y2 = e^-x - e^-x = 0
Logo y2 também é solução da EDO.

Passo 4

Para verificar a independência linear, usamos o Wronskiano
W(y1,y2)(x)=y1 & y2 y1' & y2' = y1,y2' - y2,y1'
Substituindo:
W = e^xcdot(-e^-x) - e^-xcdot e^x = -1 - 1 = -2
Como W é constante e Wneq 0 para todo x, as soluções são linearmente independentes.

Resposta

As funções satisfazem a EDO e têm Wronskiano -2neq0, logo são soluções linearmente independentes.

Exercícios relacionados