Justifique porque a série
sumn=1^infty(-1)^n+1 raiznn+3
converge.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para justificar por que a série
sumn=1^infty(-1)^n+1 raiznn+3
converge. Vamos ver que tipo de série é essa e quais ferramentas da matemática vamos precisar para resolver.

Passo 2

Primeiro, observe que a série tem um fator , o que indica que ela é uma série alternada. Séries alternadas são aquelas em que os termos mudam de sinal a cada termo.

Passo 3

Para analisar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Alternância (também conhecido como Teste de Leibniz). Esse teste nos diz que uma série alternada
sumn=1^infty (-1)^n+1 an
converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos são decrescentes, ou seja, para todo .
  2. O limite de quando tende ao infinito é zero, ou seja, .

Passo 4

Vamos identificar an = raiznn + 3 na nossa série. Comparando com a forma geral, temos:
Agora, vamos verificar as duas condições do Teste da Alternância.

Passo 5

Primeira condição: os termos an+1 = raizn+1(n+1) + 3 = raizn+1n + 4 são decrescentes.
Vamos ver se :
Comparando com , percebemos que, conforme aumenta, o numerador cresce mais lentamente que o denominador, fazendo com que diminua. Portanto, é uma sequência decrescente para grande.

Passo 6

Segunda condição: o limite de limn to infty raiznn + 3 = limn to infty n^1/2n = limn to infty 1n^1/2 = 0 quando tende ao infinito é zero.
Vamos calcular:
Portanto, a segunda condição também é satisfeita.

Resposta

Como ambas as condições do Teste da Alternância são atendidas, concluímos que a série
sumn=1^infty(-1)^n+1 raiznn+3
converge.

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