Justifique porque a série
converge.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para justificar por que a série
converge. Vamos ver que tipo de série é essa e quais ferramentas da matemática vamos precisar para resolver.
Passo 2
Primeiro, observe que a série tem um fator
, o que indica que ela é uma série alternada. Séries alternadas são aquelas em que os termos mudam de sinal a cada termo.
Passo 3
Para analisar a convergência de séries alternadas, usamos o Teste da Alternância (também conhecido como Teste de Leibniz). Esse teste nos diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são decrescentes, ou seja, para todo . - O limite de
quando tende ao infinito é zero, ou seja, .
Passo 4
Vamos identificar
na nossa série. Comparando com a forma geral, temos:
Agora, vamos verificar as duas condições do Teste da Alternância.
Passo 5
Primeira condição: os termos
são decrescentes.
Vamos ver se
:
Comparando com
, percebemos que, conforme
aumenta, o numerador cresce mais lentamente que o denominador, fazendo com que
diminua. Portanto,
é uma sequência decrescente para
grande.
Passo 6
Segunda condição: o limite de
quando
tende ao infinito é zero.
Vamos calcular:
Portanto, a segunda condição também é satisfeita.
Resposta
Como ambas as condições do Teste da Alternância são atendidas, concluímos que a série
converge.