Determine os valores máximo e mínimo absolutos de f no conjunto D
e) f(x, y)=x^2+2 y^2-x; D é a região circular x^2+y^2 <= 4

Passo 1

O enunciado pede para achar os valores máximos e mínimos absolutos da função f(x,y)=x²+2y²−x no disco D definido por x²+y²≤4. O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis em domínio fechado e compacto, então vamos usar pontos críticos interiores (gradiente zero) e analisar o contorno.

Passo 2

Calculamos o gradiente de f e igualamos a zero para achar pontos críticos no interior de D. As derivadas parciais são:
partial fpartial x=2x-1, partial fpartial y=4y
Igualando a zero dá 2x−1=0 ⇒ x=1/2 e 4y=0 ⇒ y=0, ou seja, ponto crítico (1/2,0).

Passo 3

Verificamos que (1/2,0) está dentro de D pois (1/2)²+0²=1/4<4. Avaliando f ali: f(1/2,0)=(1/2)²+0−(1/2)=1/4−1/2=−1/4.

Passo 4

Agora analisamos o contorno x²+y²=4. Usamos a parametrização x=2cos t, y=2sin t e definimos
g(t)=f(2cos t,2sin t)= (2cos t)^2 +2(2sin t)^2 -2cos t =8-4cos^2 t -2cos t

Passo 5

Para achar extremos de g, tratamos g como função de u=cos t em [−1,1], isto é g(u)=8−4u²−2u. Derivando: g’(u)=−8u−2, zerando dá u=−1/4. Avaliamos g em u=−1/4 e também em u=±1: g(−1/4)=33/4, g(1)=2, g(−1)=6.

Passo 6

Comparando todos os valores de f: no interior temos −1/4; no contorno obtivemos 2, 6 e 33/4. O menor é −1/4 e o maior é 33/4, atingido quando cos t=−1/4 e sin t=±√15/4, ou seja em (x,y)=(−1/2,±√15/2).

Resposta

O valor mínimo absoluto é −\tfrac{1}{4} em (\tfrac12,0) e o valor máximo absoluto é \tfrac{33}{4} nos pontos (−\tfrac12,±\tfrac{\sqrt{15}}{2}).

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