Determine os valores máximo e mínimo absolutos de
no conjunto D
e)
; D é a região circular
e)
Passo 1
O enunciado pede para achar os valores máximos e mínimos absolutos da função f(x,y)=x²+2y²−x no disco D definido por x²+y²≤4. O conteúdo aqui é otimização de funções de duas variáveis em domínio fechado e compacto, então vamos usar pontos críticos interiores (gradiente zero) e analisar o contorno.
Passo 2
Calculamos o gradiente de f e igualamos a zero para achar pontos críticos no interior de D. As derivadas parciais são:
Igualando a zero dá 2x−1=0 ⇒ x=1/2 e 4y=0 ⇒ y=0, ou seja, ponto crítico (1/2,0).
Passo 3
Verificamos que (1/2,0) está dentro de D pois (1/2)²+0²=1/4<4. Avaliando f ali: f(1/2,0)=(1/2)²+0−(1/2)=1/4−1/2=−1/4.
Passo 4
Agora analisamos o contorno x²+y²=4. Usamos a parametrização x=2cos t, y=2sin t e definimos
Passo 5
Para achar extremos de g, tratamos g como função de u=cos t em [−1,1], isto é g(u)=8−4u²−2u. Derivando: g’(u)=−8u−2, zerando dá u=−1/4. Avaliamos g em u=−1/4 e também em u=±1: g(−1/4)=33/4, g(1)=2, g(−1)=6.
Passo 6
Comparando todos os valores de f: no interior temos −1/4; no contorno obtivemos 2, 6 e 33/4. O menor é −1/4 e o maior é 33/4, atingido quando cos t=−1/4 e sin t=±√15/4, ou seja em (x,y)=(−1/2,±√15/2).
Resposta
O valor mínimo absoluto é −\tfrac{1}{4} em (\tfrac12,0) e o valor máximo absoluto é \tfrac{33}{4} nos pontos (−\tfrac12,±\tfrac{\sqrt{15}}{2}).