Decida se as sequências abaixo convergem ou divergem.
an=4 n^2-3 n2 n+1

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a sequência
an=4n^2-3n2n+1
converge ou diverge. O conteúdo envolve limites de sequências racionais quando ntoinfty. Vamos comparar os graus do polinômio no numerador e no denominador e calcular o limite.

Passo 2

Identificamos que o numerador 4n^2-3n é de grau 2 e o denominador 2n+1 é de grau 1. Quando o grau do numerador é maior que o grau do denominador, a tendência é que ,an, cresça sem limite.

Passo 3

Para tornar isso explícito, dividimos numerador e denominador por n:
an =4n^2-3n2n+1 =n,(4n-3)n,(2+1/n) =4n-32+tfrac1n
À medida que ntoinfty, temos tfrac1nto0, logo
limntoinftyan =limntoinfty4n-32+tfrac1n =infty2=+infty

Passo 4

Como o limite é +infty, a sequência não converge para um número finito, isto é, diverge para +infty.

Resposta

A sequência diverge, pois
limntoinftyan=+infty

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