Verifique se a integral imprópria converge ou diverge, em caso de convergência indique o valor da integral:
Escolha uma opção:
a.
b. Integral diverge
c.
d.
e.
a.
b. Integral diverge
c.
d.
e.
Passo 1
O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
e, se convergir, calcular seu valor. O tema é integrais impróprias no infinito e vamos usar a definição de integral como limite e uma substituição para simplificar o cálculo.
Passo 2
Para tratar a integral imprópria no infinito, escrevemos
Não há singularidade em
(o integrando se anula lá), então basta avaliar o limite no infinito.
Passo 3
Fazemos a substituição típica para potências de
:
Quando
,
; quando
,
. Assim
Passo 4
Calculamos a primitiva de
e tomamos o limite
:
Agora
Portanto a integral converge e vale
.
Resposta
(d)