Verifique se a integral imprópria converge ou diverge, em caso de convergência indique o valor da integral:
integral0^+infty x(1+x^2)^2 d x
Escolha uma opção:
a. integral0^+infty x(1+x^2)^2 d x=1
b. Integral diverge
c. integral0^+infty x(1+x^2)^2 d x=pi
d. integral0^+infty x(1+x^2)^2 d x=12
e. integral0^+infty x(1+x^2)^2 d x=2 raiz2

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da integral imprópria
integral0^+infty xl(1+x^2r)^2,dx
e, se convergir, calcular seu valor. O tema é integrais impróprias no infinito e vamos usar a definição de integral como limite e uma substituição para simplificar o cálculo.

Passo 2

Para tratar a integral imprópria no infinito, escrevemos
integral0^+infty xl(1+x^2r)^2,dx =limAto+inftyintegral0^Axl(1+x^2r)^2,dx
Não há singularidade em x=0 (o integrando se anula lá), então basta avaliar o limite no infinito.

Passo 3

Fazemos a substituição típica para potências de 1+x^2:
u = 1 + x^2Longrightarrow du = 2x,dx Longrightarrow x,dx = du2
Quando x=0, u=1; quando x=A, u=1+A^2. Assim
integral0^Axl(1+x^2r)^2,dx =integralu=1^u=1+A^212,u^-2,du =12integral1^1+A^2u^-2,du

Passo 4

Calculamos a primitiva de u^-2 e tomamos o limite Atoinfty:
12integral1^1+A^2u^-2,du =12l[-u^-1r]1^1+A^2 =12l(-11+A^2+1r)
Agora
limAto+infty12l(1-11+A^2r) =12(1-0) =12
Portanto a integral converge e vale tfrac12.

Resposta

(d)

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