Decida se a série abaixo converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série
converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns critérios de convergência de séries, como o teste do termo geral e o teste da série alternada. Vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a série sem o termo alternado
. Isso nos ajudará a verificar a convergência absoluta da série. A série sem o termo alternado fica:
Passo 3
Vamos simplificar o termo
. Sabemos que:
Para valores grandes de
,
é pequeno, então podemos usar a aproximação
quando
é pequeno. Portanto:
Passo 4
Substituindo essa aproximação na série, temos:
Agora, a série se comporta de forma semelhante a
, que é uma série p com
.
Passo 5
Sabemos que uma série p converge se
. Como
, a série
converge. Portanto, a série original sem o termo alternado também converge absolutamente, já que os termos absolutos formam uma série convergente.
Passo 6
Agora que estabelecemos que a série converge absolutamente, isso implica automaticamente que ela também converge condicionalmente. Porém, como a convergência absoluta é uma condição mais forte, podemos concluir que a série converge absolutamente.
Resposta
A série
converge absolutamente. Utilizamos o teste da série p para verificar a convergência dos termos absolutos.