Decida se a série abaixo converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
sumn=1^infty(-1)^n+1 raizn ln (n^2+1n^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente decidir se a série sumn=1^infty(-1)^n+1 raizn ln (n^2+1n^2) converge absolutamente, condicionalmente ou se diverge. Para resolver isso, vamos usar alguns critérios de convergência de séries, como o teste do termo geral e o teste da série alternada. Vamos precisar entender um pouco sobre séries alternadas e critérios de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a série sem o termo alternado (-1)^n+1. Isso nos ajudará a verificar a convergência absoluta da série. A série sem o termo alternado fica:
sumn=1^infty raizn ln (n^2+1n^2)

Passo 3

Vamos simplificar o termo ln (n^2+1n^2). Sabemos que:
ln (n^2+1n^2) = ln (1 + 1n^2)
Para valores grandes de n, 1n^2 é pequeno, então podemos usar a aproximação ln(1 + x) approx x quando x é pequeno. Portanto:
ln (1 + 1n^2) approx 1n^2

Passo 4

Substituindo essa aproximação na série, temos:
raizn ln (n^2+1n^2) approx raizn cdot 1n^2 = 1n^3/2
Agora, a série se comporta de forma semelhante a sum 1n^3/2, que é uma série p com p = 32.

Passo 5

Sabemos que uma série p converge se p > 1. Como 32 > 1, a série sum 1n^3/2 converge. Portanto, a série original sem o termo alternado também converge absolutamente, já que os termos absolutos formam uma série convergente.

Passo 6

Agora que estabelecemos que a série converge absolutamente, isso implica automaticamente que ela também converge condicionalmente. Porém, como a convergência absoluta é uma condição mais forte, podemos concluir que a série converge absolutamente.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n+1 raizn ln (n^2+1n^2) converge absolutamente. Utilizamos o teste da série p para verificar a convergência dos termos absolutos.

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