Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique cada resposta para melhor assimilar a teoria.
(e) Se lim n infty(an / bn)=infty e sumn=1^infty bn converge, então sumn=1^infty an converge.

Passo 1

O enunciado é da parte de séries numéricas: afirma que se limntoinfty(an/bn)=infty e sum bn converge, então sum an converge. Vamos testar essa afirmação com um contraexemplo.

Passo 2

Para encontrar um contraexemplo, escolhemos uma série sum bn convergente e definimos an de modo que an/bntoinfty, mas sum an diverge.

Passo 3

Tomemos bn=1/n^2. Sabemos que sumn=1^infty1/n^2 converge (série p com p=2>1). Definimos an=1/n. Então
anbn=1/n1/n^2=ntoinfty

Passo 4

Como sumn=1^infty an=sumn=1^infty1/n é a série harmônica, ela diverge. Assim, temos lim(an/bn)=infty, sum bn converge, mas sum an diverge, contrariando a afirmação.

Passo 5

Portanto, a proposição é falsa.

Resposta

F

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