Decida se a série abaixo converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
sum(-1)^n+1 raiz[3]sin (1n^4)

Passo 1

Beleza, vamos ver qual é o lance aqui! A gente tem a série:
sum (-1)^n+1 raiz[3]sin (1n^4)
O objetivo é descobrir se essa série converge absolutamente, converge condicionalmente ou diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa convergência absoluta e convergência condicional:
  • Convergência Absoluta: A série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, se sum |an| converge, então sum an converge absolutamente.
  • Convergência Condicional: A série converge condicionalmente se ela converge, mas a série dos valores absolutos dela não converge.
Aqui, para verificar se a série converge absolutamente, vamos considerar a série dos valores absolutos:
sum | (-1)^n+1 raiz[3]sin (1n^4) | = sum raiz[3]sin (1n^4)

Passo 3

Agora, precisamos analisar o comportamento de sin(1n^4) quando n é grande. Sabemos que para x próximo de 0, sin(x) approx x. Então:
sin(1n^4) approx 1n^4
Logo,
raiz[3]sin(1n^4) approx raiz[3]1n^4 = 1n^4/3

Passo 4

Então, a série dos valores absolutos fica aproximadamente:
sum 1n^4/3
Reconhecemos aqui uma série p da forma sum 1n^p, onde p = 43.

Passo 5

Sabemos que uma série p converge se p > 1. No nosso caso, p = 43 > 1, então:
sum 1n^4/3 conver>=s

Passo 6

Como a série dos valores absolutos converge, isso significa que a série original:
sum (-1)^n+1 raiz[3]sin (1n^4)
converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente pelo Teste da Série p, já que a série dos valores absolutos é uma p-série com p = 43 > 1.

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