1. Usando o Critério da Raiz, verifique que as séries dadas abaixo convergem:
    (a) sumn=1^infty(-n3 n+1)^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=1^inftyl(-n3n+1r)^n usando o Critério da Raiz. Esse critério afirma que, para uma série de termos an, se
L = limsupntoinfty raiz[n]|an|
satisfaz L<1, então a série converge absolutamente; se L>1, diverge; e se L=1, o critério é inconclusivo.

Passo 2

Identificando o termo geral como
an = l(tfrac-n3n+1r)^n,
calculamos o valor absoluto e sua raiz n-ésima:
|an| = l(tfracn3n+1r)^n e raiz[n]|an| = n3n+1

Passo 3

Agora basta avaliar o limite
limntoinfty n3n+1 = 13

Passo 4

Como o limite encontrado é L=1/3<1, o Critério da Raiz garante que a série converge absolutamente, e portanto converge.

Resposta

A série converge absolutamente pelo Critério da Raiz, pois o limite do termo raiz[n]|an| é 1/3<1.

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