Decida se a série abaixo converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. Justifique! Qual foi o critério de convergência utilizado?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre séries! A gente precisa decidir se a série converge de forma absoluta, condicional ou se diverge. Para isso, vamos usar alguns conceitos de cálculo de séries e aplicar critérios de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é convergência absoluta. Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos dela também converge. Ou seja, a gente olha para .
Passo 3
Agora, vamos analisar essa série de valores absolutos: sumn=1^infty n^2n^3+4. Observando o comportamento dos termos para n grande, percebemos que n^3 domina 4, então podemos simplificar para aproximadamente n^2n^3 = 1n.
Passo 4
A série sumn=1^infty 1n é a famosa série harmônica, que diverge. Como nossa série de valores absolutos se comporta como a série harmônica para n grande, podemos usar o Teste da Comparação ou o Teste do Limite para concluir que sumn=1^infty n^2n^3+4também diverge.
Passo 5
Já que a série dos valores absolutos diverge, a série original não converge absolutamente. Mas ainda precisamos verificar se ela converge condicionalmente. Para isso, vamos usar o Teste da Série Alternada.
Passo 6
O Teste da Série Alternada diz que uma série da forma sum (-1)^nbn converge se:
Os termos bn são decrescentes: bn+1 <= bn.
limn to infty bn = 0.
No nosso caso, bn = n^2n^3+4.
Passo 7
Vamos verificar as condições:
Decrescimento: À medida que n aumenta, n^3 cresce mais rápido que n^2, então bn diminui.
Limite: limn to infty n^2n^3+4 = limn to infty 1n = 0.
Passo 8
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas, concluímos que a série sumn=1^infty(-1)^n+1 n^2n^3+4converge condicionalmente.
Resposta
A série converge condicionalmente, utilizando o Teste da Série Alternada.