Escreva F(x) na forma f(g(x)) e encontre sua derivada.
4) F(x)=tan (sen(x))

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa escrever a função $ F(x) = \tan(\sin(x)) $ na forma de $ f(g(x)) $, ou seja, como uma composição de duas funções. Depois, vamos encontrar a derivada dessa função. Para isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é uma ferramenta super útil no cálculo para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as duas funções que compõem $ F(x) $. Olhando para $ F(x) = \tan(\sin(x)) F(x) çã \tan F(x) = tan(sin(x)) çãé \sin $) de $ x $. Então, podemos definir:
  • $ g(x) = \sin(x) $
  • $ f(u) = \tan(u) $ onde $ u = g(x) $
Dessa forma, $ F(x) = f(g(x)) $.

Passo 3

Agora, para encontrar a derivada de $ F(x) $, vamos usar a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que se temos uma função composta $ f(g(x)) $, a derivada dela é $ f’(g(x)) \cdot g’(x) $.
Primeiro, vamos encontrar $ f’(u) $ e $ g’(x) $:
  • A derivada de $ f(u) = \tan(u) $ é $ f’(u) = \sec^2(u) $ (porque a derivada de tangente é secante ao quadrado).
  • A derivada de $ g(x) = \sin(x) $ é $ g’(x) = \cos(x) $.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
F'(x) = f'(g(x)) cdot g'(x) = sec^2(g(x)) cdot cos(x)
Substituindo $ g(x) = \sin(x) $:
g(x) = sin(x)

Resposta

A derivada de $ F(x) = \tan(\sin(x)) $ é:
F(x) = tan(sin(x))

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