- Mostre que
converge.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a série infinita
e precisamos mostrar que ela converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, observe que a série é alternada. Isso significa que os termos mudam de sinal conforme
aumenta, por causa do
. Séries alternadas têm propriedades especiais que podemos usar para analisar a convergência.
Passo 3
Vamos utilizar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste nos diz que uma série alternada
converge se duas condições forem satisfeitas:
- Os termos
são positivos. -
é decrescente e tende a zero quando vai para o infinito.
Passo 4
No nosso caso,
. Vamos verificar as condições do Teste da Série Alternada.
Passo 5
Primeira condição:
é sempre positivo para todo
, já que fatorial de qualquer número positivo é positivo.
Passo 6
Segunda condição: Precisamos checar se
é decrescente e se
.
-
Decrescente: Vamos ver se
. Isso mostra que os termos estão diminuindo conformeaumenta. -
Limite para zero:Isso é verdade porque o fatorial cresce muito rápido, fazendo com que
se aproxime de zero.
Passo 7
Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (termos positivos, decrescentes e com limite zero), podemos concluir que a série
converge.
Resposta
A série
converge.