1. Mostre que sumn=1^infty (-1)^nn! converge.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a série infinita sumn=1^infty (-1)^nn! e precisamos mostrar que ela converge. Para isso, vamos usar conceitos de séries alternadas e testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, observe que a série é alternada. Isso significa que os termos mudam de sinal conforme n aumenta, por causa do (-1)^n. Séries alternadas têm propriedades especiais que podemos usar para analisar a convergência.

Passo 3

Vamos utilizar o Teste da Série Alternada (ou Teste de Leibniz). Esse teste nos diz que uma série alternada sum (-1)^n an converge se duas condições forem satisfeitas:
  1. Os termos an são positivos.
  2. an é decrescente e tende a zero quando n vai para o infinito.

Passo 4

No nosso caso, an = 1n!. Vamos verificar as condições do Teste da Série Alternada.

Passo 5

Primeira condição: an = 1n! é sempre positivo para todo n >= 1, já que fatorial de qualquer número positivo é positivo.

Passo 6

Segunda condição: Precisamos checar se an é decrescente e se limn to infty an = 0.
  • Decrescente: Vamos ver se 1n! > 1(n+1)!.
    1n! > 1(n+1) cdot n! = 1(n+1)!
    Isso mostra que os termos estão diminuindo conforme n aumenta.
  • Limite para zero:
    limn to infty 1n! = 0
    Isso é verdade porque o fatorial cresce muito rápido, fazendo com que 1n! se aproxime de zero.

Passo 7

Como as duas condições do Teste da Série Alternada são satisfeitas (termos positivos, decrescentes e com limite zero), podemos concluir que a série sumn=1^infty (-1)^nn! converge.

Resposta

A série sumn=1^infty (-1)^nn! converge.

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