Decida se a série abaixo converge ou diverge:
Sugestão: lembre que
e que, se
é pequeno,
<x
◯ a. Converge
◯ b. Diverge
◯ a. Converge
◯ b. Diverge
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para decidir se ela converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas:
- A identidade sugerida:
. - A desigualdade sugerida para ângulos pequenos:
(para ).
O que é perguntado: escolher entre
- (a) Converge
- (b) Diverge
Passo 2
Vamos reescrever cada termo usando a identidade dada. Tomando
na identidade
obtemos
Assim cada termo da série é positivo e igual a
Passo 3
Agora vamos usar a desigualdade
para
. Uma forma simples de justificar essa desigualdade é considerar a função
para
. Tem-se
e
portanto
é crescente e
, o que dá
. Para
tem-se
, mas a desigualdade não precisa ser estrita aqui.
Aplicando essa desigualdade com
obtemos
Elevando ao quadrado e multiplicando por
,
Usando o resultado do Passo 2, isto é
Passo 4
Agora aplicamos o teste da comparação direta. Lembremos do enunciado do teste: se
para todo
suficientemente grande e
converge, então
converge.
Aqui podemos tomar
Mostramos que
para todo
. A série
é um múltiplo da série-p com
, e portanto converge (série de Riemann). Pelo teste da comparação, a série
converge também.
Passo 5
(Comentário alternativo — limite de comparação, para entender a razão assintótica.) Podemos também ver o comportamento assintótico: usando
e o limite clássico
, temos
Como esse limite é um número positivo finito, a série tem o mesmo comportamento de
, que converge. Isso confirma o resultado do Passo 4.
Passo 6
Conclusão e observação final: todos os termos são não-negativos e foram comparados com uma série convergente
. Portanto a série dada converge. Além disso, a convergência é absoluta (os termos já são positivos).
Resposta
a. Converge