Decida se a série abaixo converge ou diverge:

\sum_{k=1}^{\infty}\left(1-\cos \frac{1}{k}\right)
Sugestão: lembre que \cos (2 x)=1-2 \operatorname{sen}^{2}(x) e que, se x é pequeno, \operatorname{sen}(x) <x
◯ a. Converge
◯ b. Diverge

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=1}^{\infty}\left(1-\cos\frac{1}{k}\right)
e pede para decidir se ela converge ou diverge. Informações relevantes fornecidas:
  • A identidade sugerida: \cos(2x)=1-2\sin^{2}x.
  • A desigualdade sugerida para ângulos pequenos: \sin x < x (para x>0).
O que é perguntado: escolher entre
  • (a) Converge
  • (b) Diverge

Passo 2

Vamos reescrever cada termo usando a identidade dada. Tomando x=\dfrac{1}{2k} na identidade \cos(2x)=1-2\sin^{2}x obtemos
1-\cos\frac{1}{k}=1-\cos\bigl(2\cdot\tfrac{1}{2k}\bigr)=2\sin^{2}\!\left(\tfrac{1}{2k}\right).
Assim cada termo da série é positivo e igual a
\left(1-\cos\frac{1}{k}\right)=2\sin^{2}\!\left(\tfrac{1}{2k}\right).

Passo 3

Agora vamos usar a desigualdade \sin x \le x para x\ge0. Uma forma simples de justificar essa desigualdade é considerar a função g(x)=x-\sin x para x\ge0. Tem-se g(0)=0 e
g'(x)=1-\cos x\ge 0,
portanto g é crescente e g(x)\ge0, o que dá \sin x\le x. Para x>0 tem-se \sin x < x, mas a desigualdade não precisa ser estrita aqui.
Aplicando essa desigualdade com x=\dfrac{1}{2k}\ge0 obtemos
\sin\!\left(\tfrac{1}{2k}\right)\le \tfrac{1}{2k}.
Elevando ao quadrado e multiplicando por 2,
2\sin^{2}\!\left(\tfrac{1}{2k}\right)\le 2\left(\tfrac{1}{2k}\right)^{2}=\frac{1}{2k^{2}}.
Usando o resultado do Passo 2, isto é
1-\cos\frac{1}{k}=2\sin^{2}\!\left(\tfrac{1}{2k}\right)\le \frac{1}{2k^{2}}.

Passo 4

Agora aplicamos o teste da comparação direta. Lembremos do enunciado do teste: se 0\le a_{k}\le b_{k} para todo k suficientemente grande e \sum b_{k} converge, então \sum a_{k} converge.
Aqui podemos tomar
a_{k}=1-\cos\frac{1}{k}\quad\text{e}\quad b_{k}=\frac{1}{2k^{2}}.
Mostramos que 0\le a_{k}\le b_{k} para todo k. A série \sum b_{k}=\dfrac{1}{2}\sum \dfrac{1}{k^{2}} é um múltiplo da série-p com p=2>1, e portanto converge (série de Riemann). Pelo teste da comparação, a série \sum a_{k}=\sum\left(1-\cos\frac{1}{k}\right) converge também.

Passo 5

(Comentário alternativo — limite de comparação, para entender a razão assintótica.) Podemos também ver o comportamento assintótico: usando 1-\cos t=2\sin^{2}(t/2) e o limite clássico \lim_{u\to0}\dfrac{\sin u}{u}=1, temos
\lim_{k\to\infty}\frac{1-\cos(1/k)}{1/k^{2}} =\lim_{k\to\infty}\frac{2\sin^{2}\!(1/(2k))}{1/k^{2}} = \lim_{k\to\infty}2\left(\frac{\sin(1/(2k))}{1/(2k)}\right)^{2}\frac{1}{4} =\frac{1}{2}.
Como esse limite é um número positivo finito, a série tem o mesmo comportamento de \sum 1/k^{2}, que converge. Isso confirma o resultado do Passo 4.

Passo 6

Conclusão e observação final: todos os termos são não-negativos e foram comparados com uma série convergente \dfrac{1}{2}\sum 1/k^{2}. Portanto a série dada converge. Além disso, a convergência é absoluta (os termos já são positivos).

Resposta

a. Converge

Exercícios relacionados