Decida se a série a seguir converge ou diverge:
◯ a. Converge
◯ b. Diverge
◯ b. Diverge
Passo 1
O enunciado dá a série
e pede para decidir se ela converge ou diverge.
Informações relevantes fornecidas:
- Os termos da soma são positivos para todo
. - O fator
é uma sequência geométrica decrescente (exponencialmente pequena). - A questão é determinar convergência (somatório finito) ou divergência (somatório que cresce sem limite).
Passo 2
Observação inicial sobre sinais e tipo de convergência que vamos procurar.
Como todos os termos
são positivos, basta mostrar que a série converge por comparação com outra série positiva convergente. Não é preciso tratar convergência condicional versus absoluta aqui porque os termos já são positivos (logo qualquer convergência é absoluta).
Passo 3
Vamos comparar
com uma série geométrica simples. Primeiro note que, para todo
,
portanto
Daí, multiplicando por
,
Passo 4
Recordando a série geométrica: para qualquer
com
vale
No nosso caso
e
, logo a série geométrica
converge (e tem soma finita igual a
, embora o valor numérico não seja necessário aqui).
Passo 5
Como para todo
temos
e a série
converge, pelo teste da comparação (ou comparação direta) a série
também converge.
Resposta
a. Converge