Decida se a série a seguir converge ou diverge:
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(k+1) e^{-k}}{2 k+3}
◯ a. Converge
◯ b. Diverge

Passo 1

O enunciado dá a série
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(k+1)e^{-k}}{2k+3}
e pede para decidir se ela converge ou diverge.
Informações relevantes fornecidas:
  • Os termos da soma são positivos para todo k\ge 0.
  • O fator e^{-k} é uma sequência geométrica decrescente (exponencialmente pequena).
  • A questão é determinar convergência (somatório finito) ou divergência (somatório que cresce sem limite).

Passo 2

Observação inicial sobre sinais e tipo de convergência que vamos procurar.
Como todos os termos
a_k=\frac{(k+1)e^{-k}}{2k+3}
são positivos, basta mostrar que a série converge por comparação com outra série positiva convergente. Não é preciso tratar convergência condicional versus absoluta aqui porque os termos já são positivos (logo qualquer convergência é absoluta).

Passo 3

Vamos comparar a_k com uma série geométrica simples. Primeiro note que, para todo k\ge 0,
2k+3-(k+1)=k+2>0,
portanto
\frac{k+1}{2k+3}<1.
Daí, multiplicando por e^{-k}>0,
a_k=\frac{(k+1)e^{-k}}{2k+3}<e^{-k}.

Passo 4

Recordando a série geométrica: para qualquer r com |r|<1 vale
\sum_{k=0}^{+\infty} r^k=\frac{1}{1-r}<+\infty.
No nosso caso r=e^{-1} e |e^{-1}|=e^{-1}<1, logo a série geométrica
\sum_{k=0}^{+\infty} e^{-k}
converge (e tem soma finita igual a \dfrac{1}{1-e^{-1}}, embora o valor numérico não seja necessário aqui).

Passo 5

Como para todo k\ge 0 temos 0\le a_k<e^{-k} e a série \sum_{k=0}^{+\infty} e^{-k} converge, pelo teste da comparação (ou comparação direta) a série
\sum_{k=0}^{+\infty} \frac{(k+1)e^{-k}}{2k+3}
também converge.

Resposta

a. Converge

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