Decida se a série abaixo é convergente ou divergente:
◯ a. Converge
◯ b. Diverge
◯ b. Diverge
Passo 1
O enunciado pede decidir se a série
converge ou diverge. Informação dada e observações imediatas:
- A soma começa em
. - O termo geral é
. - Os termos são positivos para
porque nesse intervalo.
A tarefa é escolher se a série é convergente ou divergente.
Passo 2
Vamos usar um teste que serve para séries com termos positivos obtidos a partir de uma função contínua: o Teste da Integral (vou explicar certinho o que ele diz).
- Enunciado do Teste da Integral (versão usada): seja
contínua, positiva e decrescente em . Então a série converge se, e somente se, a integral imprópria converge.
Ou seja, comportamento da série e da integral é o mesmo quando essas hipóteses valem.
Vou aplicar esse teste à nossa série com a função
Passo 3
Verificar as hipóteses do Teste da Integral para
:
- Continuidade e positividade: para
temos , logo é bem definida e positiva. Além disso, é contínuo para , então é contínua nesse intervalo. - Monotonicidade (decrescente): calculamos a derivada de
para mostrar que é decrescente para . Derivando, Aqui usei a regra da cadeia: derivada de é vezes a derivada de , que é .
Paratem-se , então e o denominador ; portanto em . Conclusão: é decrescente.
Todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.
Passo 4
Aplicar o Teste da Integral: estudar a integral imprópria
Fazemos a substituição padrão que simplifica esse tipo de integral: seja
. Então
, ou seja
.
Transformando a integral (mudando também os limites): quando temos
; quando
temos
. Assim
Transformando a integral (mudando também os limites): quando
A integral
é uma integral harmônica do tipo
. Avaliando o limite:
Portanto a integral diverge (tende a infinito).
Passo 5
Concluir pela comparação do Teste da Integral: como
é contínua, positiva e decrescente em
e a integral
diverge, a série
também diverge.
Comentário final e motivação rápida: intuitivamente,
é só um pouco menor que
; o fator
cresce muito devagar, então não basta para somar termos pequenos o bastante para convergir. A integral mostrou isso de forma direta. Outra maneira (opcional) seria o Teste de Condensação de Cauchy que também leva à divergência transformando a soma numa constante vezes a série harmônica divergente.
Resposta
b. Diverge