Decida se a série abaixo é convergente ou divergente:
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k \ln k}
◯ a. Converge
◯ b. Diverge

Passo 1

O enunciado pede decidir se a série
\sum_{k=2}^{\infty} \frac{1}{k \ln k}
converge ou diverge. Informação dada e observações imediatas:
  • A soma começa em k=2.
  • O termo geral é a_k=\dfrac{1}{k\ln k}.
  • Os termos são positivos para k\ge2 porque \ln k>0 nesse intervalo.
    A tarefa é escolher se a série é convergente ou divergente.

Passo 2

Vamos usar um teste que serve para séries com termos positivos obtidos a partir de uma função contínua: o Teste da Integral (vou explicar certinho o que ele diz).
  • Enunciado do Teste da Integral (versão usada): seja f(x) contínua, positiva e decrescente em [N,\infty). Então a série \sum_{k=N}^{\infty} f(k) converge se, e somente se, a integral imprópria \displaystyle\int_{N}^{\infty} f(x)\,dx converge.
    Ou seja, comportamento da série e da integral é o mesmo quando essas hipóteses valem.
    Vou aplicar esse teste à nossa série com a função
f(x)=\frac{1}{x\ln x},\qquad x\ge2.

Passo 3

Verificar as hipóteses do Teste da Integral para f(x)=\dfrac{1}{x\ln x}:
  • Continuidade e positividade: para x\ge2 temos \ln x>0, logo f(x) é bem definida e positiva. Além disso, x\ln x é contínuo para x\ge2, então f é contínua nesse intervalo.
  • Monotonicidade (decrescente): calculamos a derivada de f para mostrar que f é decrescente para x\ge2. f(x)=\frac{1}{x\ln x}=\bigl(x\ln x\bigr)^{-1}.Derivando, f'(x) = -\frac{\ln x + 1}{x^{2}\ln^{2}x}.Aqui usei a regra da cadeia: derivada de (x\ln x)^{-1} é -1\cdot(x\ln x)^{-2} vezes a derivada de x\ln x, que é \ln x + 1.
    Para x\ge2 tem-se \ln x>0, então \ln x+1>0 e o denominador x^{2}\ln^{2}x>0; portanto f'(x)<0 em [2,\infty). Conclusão: f é decrescente.
    Todas as hipóteses do Teste da Integral estão satisfeitas.

Passo 4

Aplicar o Teste da Integral: estudar a integral imprópria
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx.
Fazemos a substituição padrão que simplifica esse tipo de integral: seja u=\ln x. Então du=\dfrac{1}{x}\,dx, ou seja \dfrac{dx}{x}=du.
Transformando a integral (mudando também os limites): quando x=2 temos u=\ln 2; quando x\to\infty temos u\to\infty. Assim
\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx = \int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u}\,du.
A integral \displaystyle\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u}\,du é uma integral harmônica do tipo \int \frac{1}{u}\,du=\ln u. Avaliando o limite:
\int_{\ln 2}^{\infty}\frac{1}{u}\,du = \lim_{T\to\infty}\left[\ln u\right]_{u=\ln 2}^{u=T} = \lim_{T\to\infty}\bigl(\ln T - \ln(\ln 2)\bigr)=\infty.
Portanto a integral diverge (tende a infinito).

Passo 5

Concluir pela comparação do Teste da Integral: como f é contínua, positiva e decrescente em [2,\infty) e a integral \displaystyle\int_{2}^{\infty}\frac{1}{x\ln x}\,dx diverge, a série
\sum_{k=2}^{\infty}\frac{1}{k\ln k}
também diverge.
Comentário final e motivação rápida: intuitivamente, 1/(k\ln k) é só um pouco menor que 1/k; o fator \ln k cresce muito devagar, então não basta para somar termos pequenos o bastante para convergir. A integral mostrou isso de forma direta. Outra maneira (opcional) seria o Teste de Condensação de Cauchy que também leva à divergência transformando a soma numa constante vezes a série harmônica divergente.

Resposta

b. Diverge

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