Determine o resultado da série abaixo.
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)
◯ a. 1
◯ b. \infty
◯ c. 0

Passo 1

O enunciado pede para determinar o resultado da série infinita
\sum_{k=1}^{\infty}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right).
As opções são:
a. 1
b. \infty
c. 0
Informações dadas e o que precisamos: a série é uma soma infinita de termos da forma \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}. Precisamos decidir se essa soma converge e, em caso afirmativo, calcular o seu valor; ou então concluir que diverge para infinito.

Passo 2

Para estudar uma série infinita usamos a definição via somas parciais. Definimos a n-ésima soma parcial S_n como
S_n=\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right),
e dizemos que a série converge se o limite \lim_{n\to\infty} S_n existir (e for finito). Vou então calcular S_n explicitamente e depois tomar o limite quando n\to\infty.

Passo 3

Escrevendo os primeiros termos da soma parcial para ver o padrão (cada termo está entre parênteses):
S_n=\left(\frac{1}{1}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)+\cdots+\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right).
Agora observe que há cancelamentos: o -\dfrac{1}{2} do primeiro parêntese cancela com o +\dfrac{1}{2} do segundo, o -\dfrac{1}{3} do segundo cancela com o +\dfrac{1}{3} do terceiro, e assim por diante. Este é um caso clássico de série telescópica.

Passo 4

Após os cancelamentos, o que sobra na soma parcial é apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Portanto, para todo n vale
S_n=1-\frac{1}{n+1}.
Explicando: o +\dfrac{1}{1} nunca é cancelado por nada antes (não existe termo com 1 negativo), e o -\dfrac{1}{n+1} do último parêntese também não é cancelado por nada depois.

Passo 5

Agora avaliamos o limite das somas parciais quando n\to\infty:
\lim_{n\to\infty} S_n=\lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right).
Sabemos que \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n+1}=0 porque o denominador cresce sem limite, então a fração tende a zero. Assim
\lim_{n\to\infty} S_n=1-0=1.

Passo 6

Conclusão: a série converge e seu valor é 1. Uma maneira intuitiva de ver isso é que as somas parciais S_n aumentam (são monótonas) e ficam sempre abaixo de 1 (pois S_n=1-\dfrac{1}{n+1}<1), aproximando-se de 1.

Passo 7

Comentário rápido para evitar confusão: a série harmônica \sum_{k=1}^{\infty}\dfrac{1}{k} diverge, mas aqui estamos somando diferenças \dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1} que se cancelam (telescópica), produzindo um resultado finito. Portanto a resposta correta entre as opções é a letra a.

Resposta

a. 1

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