Determine o resultado da série abaixo.
◯ a. 1
◯ b.
◯ c. 0
◯ a. 1
◯ b.
◯ c. 0
Passo 1
O enunciado pede para determinar o resultado da série infinita
As opções são:
a.
b.
c.
a.
b.
c.
Informações dadas e o que precisamos: a série é uma soma infinita de termos da forma
. Precisamos decidir se essa soma converge e, em caso afirmativo, calcular o seu valor; ou então concluir que diverge para infinito.
Passo 2
Para estudar uma série infinita usamos a definição via somas parciais. Definimos a
-ésima soma parcial
como
e dizemos que a série converge se o limite
existir (e for finito). Vou então calcular
explicitamente e depois tomar o limite quando
.
Passo 3
Escrevendo os primeiros termos da soma parcial para ver o padrão (cada termo está entre parênteses):
Agora observe que há cancelamentos: o
do primeiro parêntese cancela com o
do segundo, o
do segundo cancela com o
do terceiro, e assim por diante. Este é um caso clássico de série telescópica.
Passo 4
Após os cancelamentos, o que sobra na soma parcial é apenas o primeiro termo positivo e o último termo negativo. Portanto, para todo
vale
Explicando: o
nunca é cancelado por nada antes (não existe termo com
negativo), e o
do último parêntese também não é cancelado por nada depois.
Passo 5
Agora avaliamos o limite das somas parciais quando
:
Sabemos que
porque o denominador cresce sem limite, então a fração tende a zero. Assim
Passo 6
Conclusão: a série converge e seu valor é
. Uma maneira intuitiva de ver isso é que as somas parciais
aumentam (são monótonas) e ficam sempre abaixo de
(pois
), aproximando-se de
.
Passo 7
Comentário rápido para evitar confusão: a série harmônica
diverge, mas aqui estamos somando diferenças
que se cancelam (telescópica), produzindo um resultado finito. Portanto a resposta correta entre as opções é a letra a.
Resposta
a. 1