Decida se a série abaixo é convergente ou divergente, justificando a resposta. No caso convergente, se possível, determine sua soma.
sumn=1^+infty (n+1)^3 nn^3 n 13^n

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente decidir se a série
sumn=1^+infty (n+1)^3nn^3n cdot 13^n
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente ainda tenta descobrir a soma dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência, que são partes da matemática conhecidas como Cálculo Diferencial e Integral.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar nossa análise. O termo geral é:
an = (n+1)^3nn^3n cdot 13^n
Podemos reescrever isso como:
an = (n+1n)^3n cdot 13^n = (1 + 1n)^3n cdot 13^n
Isso já simplifica um pouco a expressão, mas ainda precisamos entender como ela se comporta quando $ n $ cresce.

Passo 3

Agora, vamos analisar o comportamento do termo $ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{3n} $. Sabemos que, quando $ n $ fica muito grande, $ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $ se aproxima de $ e $ (a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,718). Então, podemos dizer que:
(1 + 1n)^3n
Portanto, nosso termo geral fica aproximadamente:
n

Passo 4

Agora que simplificamos o termo geral, podemos ver que ele se comporta como $ \frac{e{3}}{3{n}} $ quando $ n $ tende ao infinito. Isso nos lembra uma série geométrica, que tem a forma:
e^33^n
Onde $ a $ é o primeiro termo e $ r $ é a razão da série. As séries geométricas convergem se $ |r| < 1 $ e divergem se $ |r| \geq 1 $.

Passo 5

No nosso caso, a série simplificada é:
sumn=1^+infty e^33^n = e^3 sumn=1^+infty (13)^n
Aqui, a razão $ r = \frac{1}{3} $, que é menor que 1. Portanto, sabemos que uma série geométrica com $ |r| < 1 $ é convergente.

Passo 6

Como nossa série original se comporta como uma série geométrica convergente, podemos concluir que a série:
sumn=1^+infty (n+1)^3nn^3n cdot 13^n
também é convergente.

Passo 7

Se a série é convergente, podemos calcular a soma dela. Sabemos que a soma de uma série geométrica começa no $ n = 1 $ é dada por:
n = 1
No nosso caso, $ a = \frac{e^{3}}{3} $ (quando $ n = 1 $) e $ r = \frac{1}{3} $. Então:
S = a cdot r1 - r

Resposta

A série é convergente e sua soma é $ \frac{e^{3}}{6} $.

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