Decida se a série abaixo é convergente ou divergente, justificando a resposta. No caso convergente, se possível, determine sua soma.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para a gente decidir se a série
é convergente ou divergente. Se for convergente, a gente ainda tenta descobrir a soma dessa série. Para isso, vamos usar conceitos de séries infinitas e critérios de convergência, que são partes da matemática conhecidas como Cálculo Diferencial e Integral.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o termo geral da série para facilitar nossa análise. O termo geral é:
Podemos reescrever isso como:
Isso já simplifica um pouco a expressão, mas ainda precisamos entender como ela se comporta quando $ n $ cresce.
Passo 3
Agora, vamos analisar o comportamento do termo $ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{3n} $. Sabemos que, quando $ n $ fica muito grande, $ \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n $ se aproxima de $ e $ (a base dos logaritmos naturais, aproximadamente 2,718). Então, podemos dizer que:
Portanto, nosso termo geral fica aproximadamente:
Passo 4
Agora que simplificamos o termo geral, podemos ver que ele se comporta como $ \frac{e{3}}{3{n}} $ quando $ n $ tende ao infinito. Isso nos lembra uma série geométrica, que tem a forma:
Onde $ a $ é o primeiro termo e $ r $ é a razão da série. As séries geométricas convergem se $ |r| < 1 $ e divergem se $ |r| \geq 1 $.
Passo 5
No nosso caso, a série simplificada é:
Aqui, a razão $ r = \frac{1}{3} $, que é menor que 1. Portanto, sabemos que uma série geométrica com $ |r| < 1 $ é convergente.
Passo 6
Como nossa série original se comporta como uma série geométrica convergente, podemos concluir que a série:
também é convergente.
Passo 7
Se a série é convergente, podemos calcular a soma dela. Sabemos que a soma de uma série geométrica começa no $ n = 1 $ é dada por:
No nosso caso, $ a = \frac{e^{3}}{3} $ (quando $ n = 1 $) e $ r = \frac{1}{3} $. Então:
Resposta
A série é convergente e sua soma é $ \frac{e^{3}}{6} $.