Seja a função
A função f é diferenciável em f(x, y)= 2 x yx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0) ?

Passo 1

A questão define a função
f(x,y)=2xyx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
Queremos saber se f é diferenciável em (0,0). Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade em duas variáveis: calcular as derivadas parciais em (0,0), propor o polinômio linear aproximante e verificar se o resto é um pequeno-ô de |(x,y)|.

Passo 2

Para achar as derivadas parciais em (0,0), usamos a definição de limite:
fx(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h=limhto00-0h=0,
fy(0,0)=limhto0f(0,h)-f(0,0)h=limhto00-0h=0
Logo, as derivadas parciais são ambas zero.

Passo 3

Com fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0, o candidato a aproximação linear é
L(x,y)=0+0cdot x+0cdot y=0
Para f ser diferenciável, o resto
R(x,y)=f(x,y)-L(x,y)=f(x,y)
deve satisfazer
lim(x,y)to(0,0)R(x,y)raizx^2+y^2=0

Passo 4

Vamos examinar esse quociente ao longo da reta y=x. Nesse caso,
f(x,x)=2x^22x^2=1,
então
f(x,x)raizx^2+x^2=1|x|raiz2to+infty(xto0)
Como esse limite não é zero (nem existe finito), o resto não é o(raizx^2+y^2). Além disso, f nem é contínua em (0,0), pois ao longo de y=x tende a 1, e ao longo de y=0 tende a 0. Portanto, f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

Não, a função não é diferenciável em (0,0).

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