Seja a função
A função f é diferenciável em
?
A função f é diferenciável em
Passo 1
A questão define a função
Queremos saber se
é diferenciável em
. Para isso, vamos usar a definição de diferenciabilidade em duas variáveis: calcular as derivadas parciais em
, propor o polinômio linear aproximante e verificar se o resto é um pequeno-ô de
.
Passo 2
Para achar as derivadas parciais em
, usamos a definição de limite:
Logo, as derivadas parciais são ambas zero.
Passo 3
Com
e
, o candidato a aproximação linear é
Para
ser diferenciável, o resto
deve satisfazer
Passo 4
Vamos examinar esse quociente ao longo da reta
. Nesse caso,
então
Como esse limite não é zero (nem existe finito), o resto não é
. Além disso,
nem é contínua em
, pois ao longo de
tende a 1, e ao longo de
tende a 0. Portanto,
não é diferenciável em
.
Resposta
Não, a função não é diferenciável em (0,0).