Expresse a dízima periódica
como a razão de dois inteiros, utilizando a teoria de séries.
Passo 1
Beleza! Vamos lá: temos a dízima periódica 11,235353535… e queremos transformar isso numa fração, ou seja, na razão de dois inteiros. Para isso, vamos usar a teoria de séries, que nos ajuda a somar infinitas partes menores e chegar num resultado finito. Vamos precisar entender como decompor o número em partes que podemos somar facilmente.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a parte inteira da decimal. O número é 11,235353535…, então a parte inteira é 11. Agora, vamos focar na parte decimal: 0,235353535…
Passo 3
Observamos que na parte decimal, o “23” não está se repetindo, mas o “53” sim. Assim, temos uma parte não periódica (23) e uma parte periódica (53). Isso é importante para aplicar a série corretamente.
Passo 4
Para lidar com a parte não periódica (23), sabemos que ela representa 23/1000, já que está três casas decimais após o ponto. Agora, vamos tratar da parte periódica (53).
Passo 5
A parte periódica 53 se repete a cada duas casas decimais. Podemos expressar essa parte como uma série geométrica:
Passo 6
Para somar essa série, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
Onde:
- $ a = \frac{53}{100} $ é o primeiro termo
- $ r = \frac{1}{100} $ é a razão
Aplicando:
Passo 7
Agora, juntamos a parte não periódica e a periódica:
(Observando que $ \frac{53}{99} $ foi ajustado para $ \frac{53}{990} $ para alinhar as casas decimais)
Passo 8
Vamos somar essas duas frações:
Simplificando a fração:
Resposta
Portanto, a dízima periódica 11,235353535… pode ser expressa como a fração: