Expresse a dízima periódica 11,235353535 ldots como a razão de dois inteiros, utilizando a teoria de séries.

Passo 1

Beleza! Vamos lá: temos a dízima periódica 11,235353535… e queremos transformar isso numa fração, ou seja, na razão de dois inteiros. Para isso, vamos usar a teoria de séries, que nos ajuda a somar infinitas partes menores e chegar num resultado finito. Vamos precisar entender como decompor o número em partes que podemos somar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a parte inteira da decimal. O número é 11,235353535…, então a parte inteira é 11. Agora, vamos focar na parte decimal: 0,235353535…

Passo 3

Observamos que na parte decimal, o “23” não está se repetindo, mas o “53” sim. Assim, temos uma parte não periódica (23) e uma parte periódica (53). Isso é importante para aplicar a série corretamente.

Passo 4

Para lidar com a parte não periódica (23), sabemos que ela representa 23/1000, já que está três casas decimais após o ponto. Agora, vamos tratar da parte periódica (53).

Passo 5

A parte periódica 53 se repete a cada duas casas decimais. Podemos expressar essa parte como uma série geométrica:
0,53 = 53100 + 53100^2 + 53100^3 + dots

Passo 6

Para somar essa série, usamos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
Onde:
  • $ a = \frac{53}{100} $ é o primeiro termo
  • $ r = \frac{1}{100} $ é a razão
Aplicando:
a = 53100

Passo 7

Agora, juntamos a parte não periódica e a periódica:
0,235353535 = 231000 + 53990
(Observando que $ \frac{53}{99} $ foi ajustado para $ \frac{53}{990} $ para alinhar as casas decimais)

Passo 8

Vamos somar essas duas frações:
231000 + 53990 = 23 times 990 + 53 times 10001000 times 990 = 22770 + 53000990000 = 75770990000
Simplificando a fração:
75770990000 = 757799000 approx 0,07656

Resposta

Portanto, a dízima periódica 11,235353535… pode ser expressa como a fração:
757799000

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