Decida se a série converge ou diverge.Caso seja possível, encontre o valor da série. .
Passo 1
A série dada é
ou seja
O conteúdo aqui envolve testes de convergência de séries (p-série e série alternante) e o uso da função zeta de Riemann e da função eta de Dirichlet para encontrar o valor.
Passo 2
Para verificar convergência, notamos que
é uma p-série com p=tfrac32>1, logo converge. Como a série de valores absolutos converge, a série original converge absolutamente (e, portanto, converge).
Passo 3
Reconhecemos que
sumn=1^infty(-1)^,n-1n^-s
é a função eta de Dirichlet eta(s). Para s=tfrac32, temos