Decida se a série converge ou diverge.Caso seja possível, encontre o valor da série.
1-12 raiz2+13 raiz3-14 raiz4+cdots.

Passo 1

A série dada é
1 - 12raiz2 + 13raiz3 - 14raiz4 + cdots
ou seja
sumn=1^infty(-1)^,n-1,1nraizn =sumn=1^infty(-1)^,n-1n^-tfrac32
O conteúdo aqui envolve testes de convergência de séries (p-série e série alternante) e o uso da função zeta de Riemann e da função eta de Dirichlet para encontrar o valor.

Passo 2

Para verificar convergência, notamos que
sumn=1^inftyl|(-1)^,n-1n^-tfrac32r| =sumn=1^inftyn^-tfrac32
é uma p-série com p=tfrac32>1, logo converge. Como a série de valores absolutos converge, a série original converge absolutamente (e, portanto, converge).

Passo 3

Reconhecemos que
sumn=1^infty(-1)^,n-1n^-s
é a função eta de Dirichlet eta(s). Para s=tfrac32, temos
sumn=1^infty(-1)^,n-1n^-tfrac32 =etal(tfrac32r)
E vale a relação
eta(s)=l(1-2^,1-sr),zeta(s),
onde zeta(s) é a função zeta de Riemann. Então
etal(tfrac32r) =l(1-2^,1-tfrac32r),zetal(tfrac32r) =l(1-2^-tfrac12r),zetal(tfrac32r)

Resposta

A série converge absolutamente e seu valor é
sumn=1^infty(-1)^,n-11nraizn =l(1-2^-tfrac12r),zetal(tfrac32r)

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