Escreva a equação diferencial que representa cada uma das seguintes situações:
Um corpo de massa
em queda livre encontra resistência do ar proporcional à sua velocidade
. Escreva a equação diferencial necessária para determinar a posição desse corpo em um determinado instante. Sugestão: use a Segunda Lei de Newton
.
Um corpo de massa
Passo 1
O enunciado pede que a gente escreva a equação diferencial que descreve a posição de um corpo em queda livre sujeito à resistência do ar proporcional à sua velocidade. Informações dadas (explícitas ou implícitas):
- Massa do corpo:
(constante positiva). - Aceleração da gravidade:
(constante positiva; aponta para baixo). - Força de resistência do ar proporcional à velocidade: magnitude proporcional a
, com constante de proporcionalidade positiva que vou chamar de . - Queremos a equação diferencial para determinar a posição do corpo em função do tempo, que chamaremos de
. - Não foram dadas condições iniciais numéricas; então usarei constantes genéricas para elas quando necessário (
, ).
Passo 2
Escolher convenção de sinais e variáveis (muito importante para montar as forças corretamente).
- Vou escolher o eixo vertical com a direção para baixo positiva. Assim:
-
= posição vertical medida para baixo (unidade: metros), função do tempo. -
= velocidade (positiva quando o corpo se desloca para baixo). -
= aceleração (positiva quando para baixo).
-
- Forças atuando no corpo:
- Peso: aponta para baixo, magnitude
. - Resistência do ar: é proporcional à velocidade e atua no sentido oposto ao movimento. Como escolhemos para baixo positivo, a resistência vale
(ou seja, para essa força é negativa, apontando para cima). Aqui é a constante de proporcionalidade com unidades apropriadas.
- Peso: aponta para baixo, magnitude
Passo 3
Aplicar a Segunda Lei de Newton
. Explicando a fórmula:
- A Segunda Lei diz que a soma vetorial das forças que atuam sobre um corpo é igual à massa do corpo multiplicada pela sua aceleração.
- Em notação unidimensional (direção vertical), isso fica:
Substituindo as forças que listamos:
Lembrando que
e
, escrevemos:
Passo 4
Colocar a equação na forma padrão de equação diferencial em termos de
. Basta reorganizar:
Dividindo tudo por
para deixar os coeficientes explícitos:
Essa é a equação diferencial de segunda ordem que determina a posição
. É linear, com coeficientes constantes, forçada por uma constante
.
Passo 5
Comentário didático sobre como resolver (útil na prova): reduzir para uma ODE de primeira ordem em
e integrar.
- Defina
. A equação acima implica:
- Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
. Reescrevendo em forma padrão:
- Método de solução (integrating factor): o fator integrante é
. Multiplicando e integrando, obtém-se a solução geral para :
onde
é a velocidade inicial. Nota:
é a velocidade terminal quando
.
- Para obter
, integra-se e usa-se . A primitiva dá
Essas expressões mostram como proceder na prova caso peçam solução explícita ou comportamento assintótico.