Escreva a equação diferencial que representa cada uma das seguintes situações:
Um corpo de massa m em queda livre encontra resistência do ar proporcional à sua velocidade v. Escreva a equação diferencial necessária para determinar a posição desse corpo em um determinado instante. Sugestão: use a Segunda Lei de Newton F=m \cdot a.

Passo 1

O enunciado pede que a gente escreva a equação diferencial que descreve a posição de um corpo em queda livre sujeito à resistência do ar proporcional à sua velocidade. Informações dadas (explícitas ou implícitas):
  • Massa do corpo: m (constante positiva).
  • Aceleração da gravidade: g (constante positiva; aponta para baixo).
  • Força de resistência do ar proporcional à velocidade: magnitude proporcional a v, com constante de proporcionalidade positiva que vou chamar de k.
  • Queremos a equação diferencial para determinar a posição do corpo em função do tempo, que chamaremos de x(t).
  • Não foram dadas condições iniciais numéricas; então usarei constantes genéricas para elas quando necessário ( x(0)=x_0, v(0)=v_0).

Passo 2

Escolher convenção de sinais e variáveis (muito importante para montar as forças corretamente).
  • Vou escolher o eixo vertical com a direção para baixo positiva. Assim:
    • x(t) = posição vertical medida para baixo (unidade: metros), função do tempo.
    • v(t)=\dot{x}(t) = velocidade (positiva quando o corpo se desloca para baixo).
    • a(t)=\ddot{x}(t) = aceleração (positiva quando para baixo).
  • Forças atuando no corpo:
    • Peso: aponta para baixo, magnitude \,m g.
    • Resistência do ar: é proporcional à velocidade e atua no sentido oposto ao movimento. Como escolhemos para baixo positivo, a resistência vale -k v(t) (ou seja, para v>0 essa força é negativa, apontando para cima). Aqui k>0 é a constante de proporcionalidade com unidades apropriadas.

Passo 3

Aplicar a Segunda Lei de Newton (F = m a). Explicando a fórmula:
  • A Segunda Lei diz que a soma vetorial das forças que atuam sobre um corpo é igual à massa do corpo multiplicada pela sua aceleração.
  • Em notação unidimensional (direção vertical), isso fica:
\text{soma das forças} = m \, a(t).ç
Substituindo as forças que listamos:
m g + \bigl(-k v(t)\bigr) = m \, a(t).
Lembrando que v(t)=\dot{x}(t) e a(t)=\ddot{x}(t), escrevemos:
m g - k \dot{x}(t) = m \ddot{x}(t).

Passo 4

Colocar a equação na forma padrão de equação diferencial em termos de x(t). Basta reorganizar:
m \ddot{x}(t) = m g - k \dot{x}(t).
Dividindo tudo por m para deixar os coeficientes explícitos:
\ddot{x}(t) + \frac{k}{m}\,\dot{x}(t) = g.
Essa é a equação diferencial de segunda ordem que determina a posição x(t). É linear, com coeficientes constantes, forçada por uma constante g.

Passo 5

Comentário didático sobre como resolver (útil na prova): reduzir para uma ODE de primeira ordem em v(t) e integrar.
  • Defina v(t)=\dot{x}(t). A equação acima implica:
m\dot{v}(t) = m g - k v(t).
  • Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para v(t). Reescrevendo em forma padrão:
\dot{v}(t) + \frac{k}{m}v(t) = g.
  • Método de solução (integrating factor): o fator integrante é \exp\!\bigl(\tfrac{k}{m}t\bigr). Multiplicando e integrando, obtém-se a solução geral para v(t):
v(t) = \Bigl(v_0 - \frac{m g}{k}\Bigr)\,e^{-\tfrac{k}{m}t} + \frac{m g}{k},
onde \,v_0=v(0) é a velocidade inicial. Nota: \dfrac{m g}{k} é a velocidade terminal quando t\to\infty.
  • Para obter x(t), integra-se v(t) e usa-se x(0)=x_0. A primitiva dá
x(t)=x_0 + \frac{m g}{k}\,t - \frac{m}{k}\Bigl(v_0-\frac{m g}{k}\Bigr)\bigl(1-e^{-\tfrac{k}{m}t}\bigr).
Essas expressões mostram como proceder na prova caso peçam solução explícita ou comportamento assintótico.

Resposta

\ddot{x}(t)+\dfrac{k}{m}\,\dot{x}(t)=g

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