Decida se as series abaixo convergem absolutamente, condicionalmente ou divergem. Justifique. Qual foi o critério de convergência utilizado?
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3 n)!}{30^{n} \cdot(n!)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para decidir se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(3n)!}{30^{n}\,(n!)^{3}}
converge absolutamente, condicionalmente ou diverge. O conteúdo é convergência de séries de termos gerais, e vamos usar o teste da razão de d’Alembert.

Passo 2

Definimos
a_n = \frac{(3n)!}{30^{n}\,(n!)^{3}}
e calculamos a razão
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{\frac{(3(n+1))!}{30^{\,n+1}\,\bigl((n+1)!\bigr)^{3}}}{\frac{(3n)!}{30^{\,n}\,(n!)^{3}}} = \frac{(3n+3)!}{30^{\,n+1}\,(n+1)!^{3}}\;\frac{30^{\,n}\,(n!)^{3}}{(3n)!}.
Simplificando fatoriais e potências,
\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{(3n+3)(3n+2)(3n+1)}{30\,(n+1)^{3}} \quad\longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \frac{27}{30} = \frac{9}{10}.

Passo 3

Como \lim_{n\to\infty}a_{n+1}/a_n = 9/10 < 1, o teste da razão garante que a série de termos positivos converge. E, por serem todos os termos não-negativos, essa convergência é absoluta.
O critério de convergência utilizado foi o teste da razão de d’Alembert.

Resposta

A série converge absolutamente. Critério da razão (limite da razão =9/10<1).

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