Considere a serie
a) Determine uma formula para a sequencia
das somas parciais da série e prove por indução em
que a formula que você obteve é valida
b) Calcule o valor da serie
a) Determine uma formula para a sequencia
b) Calcule o valor da serie
Passo 1
O enunciado pede a soma parcial
e depois o valor da série infinita correspondente. Para isso vamos usar a técnica de frações parciais para obter uma forma telescópica, e em seguida provar por indução que a fórmula vale para todo
.
Passo 2
Decompondo em frações parciais temos para cada
:
Multiplicando por
fica
Daí
e
, logo
e
. Assim
Passo 3
Somando de
até
obtemos soma telescópica:
Quase todos os termos se cancelam, sobrando
Passo 4
Prova por indução em
:
Base
:
. A fórmula dá
concordando com
.
Hipótese: suponha válida para
,
Então
onde usamos de novo a decomposição. Agrupando,
que é exatamente a fórmula para
. Logo vale para todo
.
Passo 5
Para a soma da série infinita basta tomar
em
Como
e
, segue
Resposta
a)
b)
b)