Considere a serie \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n \cdot(n+2)}
a) Determine uma formula para a sequencia \{\mathrm{Sn}\} das somas parciais da série e prove por indução em n que a formula que você obteve é valida
b) Calcule o valor da serie

Passo 1

O enunciado pede a soma parcial \mathrm{S}_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+2)} e depois o valor da série infinita correspondente. Para isso vamos usar a técnica de frações parciais para obter uma forma telescópica, e em seguida provar por indução que a fórmula vale para todo n.

Passo 2

Decompondo em frações parciais temos para cada k:
\frac{1}{k(k+2)} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k+2}.
Multiplicando por k(k+2) fica
1 = A(k+2) + Bk = (A+B)k + 2A.
Daí A+B=0 e 2A=1, logo A=\tfrac12 e B=-\tfrac12. Assim
\frac{1}{k(k+2)} = \frac12\Bigl(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\Bigr).

Passo 3

Somando de k=1 até k=n obtemos soma telescópica:
\mathrm{S}_n = \sum_{k=1}^{n} \frac12\Bigl(\frac{1}{k} - \frac{1}{k+2}\Bigr) = \frac12\Bigl((\tfrac11+\tfrac12+\dots+\tfrac1n) - (\tfrac13+\tfrac14+\dots+\tfrac{1}{n+2})\Bigr).
Quase todos os termos se cancelam, sobrando
\mathrm{S}_n = \frac12\Bigl(\tfrac11+\tfrac12 - \tfrac{1}{n+1} - \tfrac{1}{n+2}\Bigr).

Passo 4

Prova por indução em n:
Base n=1: \mathrm{S}_1=1/(1\cdot3)=1/3. A fórmula dá
\frac12\Bigl(1 + \tfrac12 - \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{3}\Bigr) = \frac12\Bigl( \tfrac32 - \tfrac12 - \tfrac13\Bigr) = \frac12\cdot \tfrac23 = \tfrac13,
concordando com \mathrm{S}_1.
Hipótese: suponha válida para n=k,
\mathrm{S}_k = \frac12\Bigl(1 + \tfrac12 - \tfrac{1}{k+1} - \tfrac{1}{k+2}\Bigr).
Então
\mathrm{S}_{k+1} = \mathrm{S}_k + \frac{1}{(k+1)(k+3)} = \frac12\Bigl(1 + \tfrac12 - \tfrac{1}{k+1} - \tfrac{1}{k+2}\Bigr) + \frac12\Bigl(\frac{1}{k+1} - \frac{1}{k+3}\Bigr),
onde usamos de novo a decomposição. Agrupando,
\mathrm{S}_{k+1} = \frac12\Bigl(1 + \tfrac12 - \tfrac{1}{k+2} - \tfrac{1}{k+3}\Bigr),
que é exatamente a fórmula para n=k+1. Logo vale para todo n.

Passo 5

Para a soma da série infinita basta tomar n\to\infty em
\mathrm{S}_n = \frac12\Bigl(1 + \tfrac12 - \tfrac{1}{n+1} - \tfrac{1}{n+2}\Bigr).
Como \tfrac{1}{n+1}\to0 e \tfrac{1}{n+2}\to0, segue
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n(n+2)} = \lim_{n\to\infty}\mathrm{S}_n = \frac12\Bigl(1 + \tfrac12\Bigr) = \frac34.

Resposta

a) \displaystyle \mathrm{S}_n = \frac12\Bigl(1 + \tfrac12 - \tfrac{1}{n+1} - \tfrac{1}{n+2}\Bigr).
b) \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n(n+2)} = \frac34.

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